- •Московский государственный открытый университет в.П.Грехов, м.Н. Зарицкий, г.А.Ключникова, а.В.Куприков теория автоматического управления
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Математическое описание звеньев и систем автоматического управления
- •2.1. Передаточные функции линейных звеньев и систем автоматического управления
- •Формула преобразования Лапласа
- •2.2. Передаточные функции соединения звеньев
- •2.3. Структурные схемы линейных сау и их преобразование
- •3. Характеристики линейных звеньев и систем
- •3.1. Временные характеристики
- •3.2. Частотные характеристики
- •3.3. Типовые динамические звенья и их передаточные функции
- •В) Идеальное дифференцирующее звено
- •3.4. Временные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.5. Частотные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.6. Построение логарифмических частотных характеристик последовательного
- •4. Устойчивость линейных систем автоматического управления с постоянными параметрами
- •4.1. Введение в теорию устойчивости линейных стационарных сау
- •Математическое определение понятия “устойчивость”
- •4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.4. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости
- •4.5. Влияние структуры и суммарного коэффициента системы на устойчивость
- •5. Синтез замкнутых систем регулирования
- •5.1. Содержание технических требований
- •Ступенчатого воздействия fз
- •5.2. Общий порядок синтеза корректирующего устройства и вид желаемой лачх
- •С вч – участком (-40 дб/дек)
- •(-60 Дб/дек) рис. 5.3.А - –20, -20, -60 дб/дек; рис.5.3.Б - -40, -20, -60 дб/дек
- •5.3. Передаточные функции типовых замкнутых систем регулирования
- •5.4. Пример синтеза системы регулирования Задача
- •Технические требования к системе регулирования
- •Передаточные функции двигателя по управляющему воздействию и по возмущению.
- •Определение параметров желаемой передаточной функции.
- •Определение передаточной функции корректирующего устройства
- •Техническая реализация корректирующего устройства
- •В синтезированной системе электропривода
- •6. Многоконтурные системы регулирования
- •6.1. Многоконтурные системы с подчиненным регулированием координат
- •I, , - регулируемые координаты,f1, f2, f3 - возмущения
- •6.2. Принципы оптимизации в системах подчиненного регулирования
- •Модульный оптимум настройки контуров регулирования
- •Симметричный оптимум настройки контуров регулирования
- •6.3. Порядок синтеза контуров в системах с подчиненным регулированием координат
- •6.4. Тиристорный преобразователь и шир – регуляторы как динамические звенья
3.3. Типовые динамические звенья и их передаточные функции
Согласно теореме Виета полином n-го порядка может быть представлен в виде произведения двучленов, а поэтому передаточная функция системы примет вид:
= kWЭ1(p) WЭ2(p) ... WЭK(p), (3.29)
где qi - корни полинома числителя W(p), называемые ее нулями, ri - корни полинома знаменателя W(p), называемые ее полюсами (напомним, что полюса передаточной функции системы есть корни характеристического уравнения этой же системы); k=b0/a0.
Выражение (3.29) показывает, что любую систему можно представить в виде соединения элементарных звеньев, которые принято называть типовыми динамическими звеньями. Каждое типовое динамическое звено имеет один вход, один выход, обладает свойством однонаправленности передачи входного воздействия и имеет порядок не выше второго.
Передаточные функции типовых динамических звеньев.
а) Безынерционное усилительное звено
x(t) = k f(t); X(p) = k F(p); W(p) = X(p)/F(p) = к . (3.30)
Рис.3.2. Структурная схема усилительного звена:
б) Интегрирующее звено
kи f(t); x(t) = kи;
X(p) = (kи/p) F(p); W(p) = X(p)/F(p) = kи/p или, если принять, что 1/ки=Ти - постоянная времени интегрирующего звена, то
W(з)=1/Тир (3.31)
Характеристическое уравнение p = 0, т.е. p1= 0.
Рис.3.3. Структурная схема интегрирующего звена:
В) Идеальное дифференцирующее звено
x(t) = kд;
X(p) = kд p F(p);
W(p) = X(p)/F(p) = kд p=Тдр, (3.32)
где кд=Тд – постоянная времени дифференцирующего звена.
Рис.3.4. Структурная схема идеального дифференцирующего звена
г) Апериодическое звено (инерционное звено первого порядка)
T + x(t) = 1 f(t);
(T p + 1) X(p) = 1 F(p);
W(p) = X(p)/F(p) = 1/(T p + 1). (3.33)
Характеристическое уравнение: T p + 1 = 0;
p1= -1/T, где Т – постоянная времени апериодического звена.
Рис.3.5. Структурная схема апериодического звена
д) Форсирующее звено
, (3.34)
где Тф – постоянная времени форсирующего звена.
Рис.3.6. Структурная схема форсирующего звена
е) Динамическое звено второго порядка
+ 2T0 + x(t) = 1 f(t);
( p2+2T0 p + 1) X(p) = 1 F(p);
W(p) = X(p)/F(p) = 1/( p2+2T0 p + 1). (3.35)
Рис.3.7. Структурная схема звена
Характеристическое уравнение
p2+2T0 p + 1= 0;
p1,2 = , (3.36)
т.е. значения и характер корней характеристического уравнения зависят от величины коэффициента относительного затухания .
При >1 корни характеристического уравнения (см. (3.36)) являются вещественными, и поэтому передаточную функцию рассматриваемого звена можно представить в следующем виде:
, (3.37)
где . (3.38)
В этом случае звено второго порядка эквивалентно по своим динамическим свойствам последовательному соединению двух инерционных звеньев первого порядка и называется инерционным звеном второго порядка.
При 0< < 1 корни характеристического уравнения
p1,2 = - j,
где , (3.39)
т.е. корни комплексно-сопряженные, а звено называется колебательным.
При = 0 передаточная функция колебательного звена примет вид
W(p) = 1/( p2 + 1). (3.40)
Корни характеристического уравнения
p2+1= 0;
p1,2 = , (3.41)
являются мнимыми сопряженными, а звено называется консервативным.
Рассмотренные передаточные функции и корни характеристических уравнений показывают, что звено второго порядка может обладать разными динамическими свойствами.