Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции / lekcii_po_tau.doc
Скачиваний:
103
Добавлен:
22.02.2014
Размер:
3.14 Mб
Скачать

4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста

В некоторых учебниках и учебных пособиях этот критерий именуется критерием Найквиста - Михайлова. Это объясняется тем, что этот критерий был предложен американским ученым Х. Найквистом для анализа устойчивости усилителей с обратной связью. Позднее А.В. Михайлов доказал возможность его применения для анализа устойчивости линейных САУ.

Основная особенность и практическая ценность этого критерия заключается в том, что анализ устойчивости замкнутой системы выполняется по частотным характеристикам разомкнутого контура регулирования.

Рассматриваются три случая анализа устойчивости: 1) система в разомкнутом состоянии устойчива; 2) система в разомкнутом состоянии неустойчива; 3) система в разомкнутом состоянии нейтрально устойчива (нулевые корни в характеристическом уравнении разомкнутой системы, что возможно при наличии в контуре регулирования интегрирующих звеньев).

Рассмотрим анализ устойчивости замкнутой системы для случая, когда эта система устойчива в разомкнутом состоянии. Для этого случая дадим физическое объяснение и доказательство. Поэтому уместно поставить вопрос: почему система, устойчивая в разомкнутом состоянии, может оказаться неустойчивой в замкнутом состоянии?

Целесообразно проанализировать преобразование в контуре регулирования отдельных составляющих сигнала на выходе (рис. 4.2)

Рис.4.2

Допустим, на частоте argWp(j)=-180. Следовательно, на этой частоте отрицательная обратная связь превращается в положительную.

При этом возможны три варианта:

1) Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы на частоте Wp(j)<1, что ведет к затуханию колебаний сигнала на этой частоте в замкнутом контуре, а это свидетельствует об устойчивости такой системы.

2) Wp(j)=1, что свидетельствует о возникновении незатухающих колебаний с частотой , т.е. замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости (частота незатухающих колебаний ).

3) Wp(j)>1, что ведет к увеличению амплитуды колебаний на частоте и, следовательно, такая система неустойчива.

Отобразим три возможных варианта поведения замкнутой системы на плоскости АФХ разомкнутой системы (см. рис. 4.3).

Рис. 4.3. Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой системы для трех вариантов преобразования гармоники Xсв(j) на частоте

Рассмотренная выше физическая трактовка динамических свойств замкнутой системы и рис. 4.3 позволяют сделать заключение о том, что

если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (1, j0).

Разомкнутая система неустойчива.

В этом случае наглядная физическая трактовка условий устойчивости практически невозможна. Поэтому целесообразно воспользоваться принципом аргумента для вспомогательной функции

(p) = 1 + Wp(p) = 1 + = = , (4.17)

где Dp(p) и Dз(p) - характеристические многочлены соответственно замкнутой и разомкнутой систем. При p=j

(j) =

и arg (j) = arg Dз(j) - arg Dp(j). (4.18)

0 +  0 +   0 +

Если разомкнутая система неустойчива и характеристическое уравнение Dp(p)=0 имеет m корней с положительной действительной частью, то условие устойчивости системы в замкнутом состоянии запишется на основании (4.15) и (4.18) в следующем виде:

arg (j) = n/2 - (n - 2m)/2 = 2 m /2. (4.19)

0 +

Это значит, что в этом случае условием устойчивости замкнутой системы является охват годографом вектора (j) начала координат своей комплексной плоскости m /2 раз в положительном направлении при изменении от 0 до + . Однако использовать такую методику анализа устойчивости неудобно. Если же на основании (4.17) учесть, что

(p) = 1 + Wp(p) или Wp(p) = (p)- 1. (4.20)

Это означает, что (p) и Wp(p) отличаются только постоянным смещением на единицу, т.е. началу координат на плоскости (p) соответствует на плоскости Wp(p) точка с координатами (-1, j0).

Вместо подсчета числа охватов АФХ разомкнутой системы точки с координатами (-1, j0) целесообразно подсчитать разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных переходов (снизу вверх) отрезка (-1-) дей­ствительной оси АФХ разомкнутой системы (в частотном диапазоне от 0 до + ). Для устойчивости системы в замкнутом состоянии эта разность должна быть равна m/2, где m - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью.

Примечание. Если АФХ разомкнутой системы начинается (при =0) на отрезке (-1-) действительной оси, то учитывается 1/2 перехода с соответствующим знаком.

Если разомкнутая система нейтрально устойчива, т.е. в состав Wp(p) входят интегрирующие звенья, то для анализа устойчивости замкнутой системы АФХ разомкнутой системы должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса, проходящей в отрицательном направлении число квадрантов, соответствующих числу интегрирующих звеньев.

Пример 4.2. Передаточная функция разомкнутой системы

Wp(p) = .

Выполнить анализ устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Найквиста для двух случаев: T1<<T2 и T1>>T2.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

p2(T2 p + 1) = 0

имеет корни p1,2 = 0 и p3 = - 1/T2, т.е. эта система нейтрально устойчива и m=0.

АФХ разомкнутой системы показаны на рис. 4.4.

При T1<<T2 АФХ разомкнутой системы пересекает один раз отрезок (‑1) вещественной оси в отрицательном направлении, т.е. условие устойчивости замкнутой системы не выполняется.

При T1>>T2 разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомкнутой системы отрезка вещественной оси (-1 -) равна 1-1=0 и m=0, т.е. условие устойчивости замкнутой системы выполнено.

Рис. 4.4. АФХ разомкнутой системы, рассматриваемой в примере 4.2. штрихпунктирной линией обозначена основная часть АФХ Wp(j) для случая T1>>T2

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.