- •Московский государственный открытый университет в.П.Грехов, м.Н. Зарицкий, г.А.Ключникова, а.В.Куприков теория автоматического управления
- •1. Основные понятия и определения
- •2. Математическое описание звеньев и систем автоматического управления
- •2.1. Передаточные функции линейных звеньев и систем автоматического управления
- •Формула преобразования Лапласа
- •2.2. Передаточные функции соединения звеньев
- •2.3. Структурные схемы линейных сау и их преобразование
- •3. Характеристики линейных звеньев и систем
- •3.1. Временные характеристики
- •3.2. Частотные характеристики
- •3.3. Типовые динамические звенья и их передаточные функции
- •В) Идеальное дифференцирующее звено
- •3.4. Временные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.5. Частотные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.6. Построение логарифмических частотных характеристик последовательного
- •4. Устойчивость линейных систем автоматического управления с постоянными параметрами
- •4.1. Введение в теорию устойчивости линейных стационарных сау
- •Математическое определение понятия “устойчивость”
- •4.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •4.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста
- •4.4. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости
- •4.5. Влияние структуры и суммарного коэффициента системы на устойчивость
- •5. Синтез замкнутых систем регулирования
- •5.1. Содержание технических требований
- •Ступенчатого воздействия fз
- •5.2. Общий порядок синтеза корректирующего устройства и вид желаемой лачх
- •С вч – участком (-40 дб/дек)
- •(-60 Дб/дек) рис. 5.3.А - –20, -20, -60 дб/дек; рис.5.3.Б - -40, -20, -60 дб/дек
- •5.3. Передаточные функции типовых замкнутых систем регулирования
- •5.4. Пример синтеза системы регулирования Задача
- •Технические требования к системе регулирования
- •Передаточные функции двигателя по управляющему воздействию и по возмущению.
- •Определение параметров желаемой передаточной функции.
- •Определение передаточной функции корректирующего устройства
- •Техническая реализация корректирующего устройства
- •В синтезированной системе электропривода
- •6. Многоконтурные системы регулирования
- •6.1. Многоконтурные системы с подчиненным регулированием координат
- •I, , - регулируемые координаты,f1, f2, f3 - возмущения
- •6.2. Принципы оптимизации в системах подчиненного регулирования
- •Модульный оптимум настройки контуров регулирования
- •Симметричный оптимум настройки контуров регулирования
- •6.3. Порядок синтеза контуров в системах с подчиненным регулированием координат
- •6.4. Тиристорный преобразователь и шир – регуляторы как динамические звенья
3.2. Частотные характеристики
Пусть на вход устойчивой системы или звена подается гармонический сигнал вида
f(t) = af sint. (3.10)
Учитывая, что
, (3.11)
целесообразно найти вынужденную реакцию системы на воздействие вида , (3.12)
а затем учесть мнимую часть этой вынужденной реакции (см. формулы (3.10) и (3.11)).
Линейная система описывается передаточной функцией
,
т.е. описывается дифференциальным уравнением
При входном сигнале (3.12) сигнал на выходе найдем в виде
. (3.13)
(3.14)
Отношение комплексных амплитуд выходного сигнала (после затухания свободного движения) и входного гармонического сигнала
, (3.15)
называют частотной передаточной функцией (ЧПФ), или комплексным коэффициентом передачи (ККП).
На основании формулы (3.15) можно записать
bx = afW(j). (3.16)
Используя соотношения (3.10) и (3.11), можно записать
. (3.17)
Тогда
. (3.18)
Выделяя в выражении (3.15) действительную и мнимую части, можно записать
W(j) = Re W(j) + jIm W(j) = U() + jV() = A(), (3.19)
где
A() = - модуль ЧПФ, (3.20)
() = arctg(V()/U()) - аргумент ЧПФ. (3.21)
Выражение (3.18) с учетом (3.19) можно записать в следующем виде
x(t)=Im[A()af]=A()afsin[t+()]=axsin[t+()]. (3.22)
Следовательно, при подаче на вход устойчивой линейной системы гармонического сигнала на ее выходе после затухания свободного движения установится гармонический сигнал с той же частотой, но амплитудой
ax = A()af (3.23)
и со сдвигом по фазе
() = arg W(j).
Соотношения (3.22) и (3.23) позволяют установить физический смысл модуля и аргумента ЧПФ.
Модуль ЧПФ есть отношение амплитуд выходного и входного сигналов системы в режиме установившихся гармонических колебаний на данной частоте.
Аргумент ЧПФ - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами системы в режиме установившихся гармонических колебаний на данной частоте.
Графики функций A() и () называются соответственно амплитудной частотной (АЧХ) и фазовой частотной (ФЧХ) характеристиками.
Указанный выше физический смысл каждой ординаты A() и () является основанием для экспериментального получения АЧХ и ФЧХ линейных звеньев и систем.
Графики АЧХ и ФЧХ, построенные в логарифмическом масштабе, называют логарифмическими частотными характеристиками: ЛАЧХ и ЛФЧХ. Зачем нужны логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)? Для ответа на этот вопрос рассмотрим частотные характеристики последовательного соединения звеньев.
При последовательном соединении звеньев (см. (2.44))
W(p)=.
Заменяя p на j, можно записать
W(j)=. (3.24)
Учитывая, что W(j)= A() (3.25)
Wi (j)= Ai () (3.26)
и подставляя выражения (3.25) и (3.26) в формулу (3.24), получим
A()=,
откуда следует, что
A()=; (3.27)
() = . (3.28)
Выражения (3.27) и (3.28) показывают, что для вычисления частотных характеристик последовательного соединения звеньев необходимо для каждого из фиксированных значений частот перемножить модули ЧПФ и суммировать их аргументы. Для того, чтобы исключить операции умножения целесообразно использовать логарифмические характеристики. Из (3.27) следует:
L() = 20lgA() = ;
Li() = 20lgAi().
Для их построения по оси абсцисс откладываются значения частот в логарифмическом масштабе. Эта ось равномерно разбивается на декады. Декада соответствует десятикратному изменению частоты (в рад/с), например, от 0,1 до 1, от 1 до 10 и т.д. Масштабирование каждой декады выполняется одинаково на основе следующего соотношения
m = mдек (мантисса десятичного логарифма цифр от 2 до 9),
где mдек - масштаб декады в мм,
m - масштаб частоты от начала своей декады (своего порядка).
При построении ЛАЧХ значение модуля ЧПФ откладывается в децибелах (дБ) в равномерном масштабе. Если модуль ЧПФ A(), то число децибел равно L()=20lgA()дБ.
При построении ЛФЧХ по оси ординат откладывается значение () в градусах или радианах.
В заключение отметим, что за редким исключением строят не точные, а асимптотические ЛАЧХ (см. пример 3.1).