4.4. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Запасы устойчивости

Анализ устойчивости по логарифмическим характеристикам ЛЧХ разомкнутых систем выполняется на основе критерия устойчивости Найквиста-Михайлова.

АФХ разомкнутых систем в зависимости от пересечения с вещественной осью относительно критической точки с координатами (-1, j0) можно подразделить на два типа: первый, когда все точки пересечения АФХ с вещественной осью расположены справа от критической точки (рис. 4.5); второй, когда точки пересечения АФХ с вещественной осью расположены справа и слева от критической точки (рис. 4.4).

Рассмотрим взаимнооднозначное соответствие между АФХ первого типа и ЛЧХ.

Рис. 4.5. АФХ первого типа

АФХ первого типа, показанная на рис 4.5 сплошной линией, соответствует системе, устойчивой в замкнутом состоянии. На этой АФХ выделены две частоты: частота среза (_с), при которой W_p(j_с)=А(_с)=1 и частота _, при которой arg W_p(j_)=_p(_)=-180.

Для устойчивых замкнутых систем удаление годографа W_p(j) от критической точки (-1, j 0) характеризуется запасами устойчивости по фазе и модулю. Минимальный угол , образуемый вектором W_p(j_с) и отрицательной частью действительной оси, называется запасом устойчивости по фазе

 = 180 - arg W_p(j_с) (4.21)

Минимальный отрезок действительной оси h, характеризующий расстояние между критической и ближайшей точкой пересечения годографом W_p(j) с действительной осью называют запасом устойчивости по модулю.

Отобразим рис. 4.5 на плоскость ЛЧХ (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, соответствующие устойчивой замкнутой системе (сплошные линии) и неустойчивой замкнутой системе (пунктирная линия)

Рассмотренное позволяет сделать вывод:

система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФХ первого типа, устойчива в замкнутом состоянии, если при всех частотах, при которых ЛАЧХ положительна, т.е.L() 0, ()>-180 .

4.5. Влияние структуры и суммарного коэффициента системы на устойчивость

Существуют САУ, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно неустойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, изменив ее структуру.

Рассмотрим в качестве примера одноконтурную систему, содержащую одно апериодическое звено и два интегрирующих звена. Характеристическое уравнение такой системы имеет вид

(T₂ p + 1)  p² + K = 0 (4.22)

и не содержит слагаемое с p в первой степени, т.е. a₁=0. Очевидно, что в данном случае не выполняется необходимое условие устойчивости - условие положительности коэффициентов характеристического уравнения, и никакие вариации параметров T₂ и K не могут привести к появлению слагаемого с p в первой степени. Следовательно, эта система структурно неустойчива.

Существуют звенья, которые, как правило, ухудшают устойчивость системы, и звенья, которые почти всегда улучшают устойчивость. К первой группе относятся звенья:

интегрирующее

W(p) =; (4.23)

неустойчивое инерционное звено первого порядка

W(p) =; (4.24)

консервативное

W(p) =. (4.25)

Звеньями, улучшающими устойчивость системы, являются форсирующие звенья. Обычно используют форсирующие звенья первого порядка

W(p) = T_ф p + 1. (4.26)

Рассмотрим общие условия структурной устойчивости одноконтурной системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы в общем случае имеет вид

D_з(p) = D_p(p) + M_p(p) = 0,

где D_p(p)=- произведение знаменателей передаточной функции отдельных звеньев, входящих в контур системы;

M_p(p) - произведение числителей этих же функций.

Условия структурной устойчивости зависят от порядка п характеристического уравнения и вида многочленов D_p(p) и M_p(p). Обозначим:

- число интегрирующих звеньев (4.23);

t - число неустойчивых звеньев;

r - число консервативных звеньев, входящих в систему.

Если форсирующих звеньев в контуре нет, т.е. M_p(p)=К (где - К коэффициент усиления системы), то условие структурной устойчивости системы выражается в виде двух неравенств:

(4.27)

Для более сложных видов многочлена M_p(p) условия структурной устойчивости одноконтурных систем приводятся в специальной литературе.

Рассмотрим влияние одного из основных параметров системы - суммарного коэффициента усиления разомкнутого контура на ее устойчивость. Учтем, что для одноконтурных систем коэффициент К входит в выражение ЧПФ W(j) как множитель

W(j) = , (4.28)

где

Это означает, что длины вектора W(j) при всех значениях  пропорциональны коэффициенту К.

При увеличении коэффициента К АФХ расширяется (рис. 4.7,а) и приближается к критической точке (-1, j0). Следовательно, увеличение добротности системы приводит к нарушению устойчивости системы.

Это правило справедливо для большинства реальных систем, т.е. систем с АФХ первого рода. Однако существуют системы с АФХ второго рода (рис. 4.7,б). В таких системах к нарушению устойчивости может привести не только увеличение, но и уменьшение коэффициента усиления.

Рис 4.7. Определение предельного значения коэффициента усиления

Значение коэффициента усиления, при котором АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j 0), т.е. при котором замкнутая система находится на границе колебательной устойчивости, называют предельным или критическим. Этот вопрос с помощью критерия Гурвица рассматривался в 4.2 (см. пример 4.1).

Если A_p(_) = W_p(j_) = B (см. рис. 4.7,а), К_кр = К/В.

Таким образом, установлена одна из важнейших в ТАУ закономерностей

чем больше суммарный коэффициент усиления разомкнутого контура регулирования, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.

Предельное значение коэффициента усиления зависит от соотношения постоянных времени звеньев, образующих контур системы. Рассмотрим систему, структурная схема которой показана на рис. 4.8.

Рис. 4.8

Передаточная функция замкнутой системы

W_з(j) = = , (4.29)

где K_ = K_уK₁K₂K₃ K_ос

D(p) = a₃ p³ + a₂ p² + a₁ p + a₀ ,

где

(4.30)

Согласно критерию Гурвица система третьего порядка будет находиться на границе колебательной устойчивости при

₂ = а₁а₂ - а₀а₃ = 0. (4.31)

Подставив в уравнение (4.31) коэффициенты (4.30), получим

(Т₁Т₂ + Т₁Т₃ + Т₂Т₃)( Т₁ + Т₂ + Т₃) - Т₁Т₂Т₃(1 + К_КР) = 0. (4.32)

Решив это равенство относительно К_КР и выполнив некоторые дополнительные преобразования (деление на а₃), получим

К_КР = . (4.33)

На основании выражения (4.33) можно сформулировать важное практическое правило:

предельное значение добротности системы зависит от соотношения постоянных времени и не зависит от их абсолютных значений.

В рассматриваемом случае К_КРмин=8 при Т₁=Т₂=Т₃.

Для увеличения К_КР целесообразно уменьшать наименьшую постоянную времени.

Рассмотрим случай контура регулирования, состоящего из п одинаковых апериодических звеньев с Т_i=Т. Для нахождения К_КР используем условия прохождения АФХ разомкнутого контура через точку (-1;j 0). В этом случае частота среза _с=_, что позволяет записать следующие два уравнения:

(4.34)

n arg tg(_с T) = - . (4.35)

Из уравнения (4.35) получаем

_с T = - tg(/n). (4.36)

Подставив (4.36) в уравнение (4.34), найдем

(4.37)