1.10 Анализ цифровых систем управления

При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.

Передаточная функция цифрового фильтра для типовых законов управления получена в (1.32). Если в системе имеет место экстраполятор нулевого порядка с передаточной функцией , то с учётом того, что , её можно записать так: . Сомножитель относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведённой непрерывной части может быть записана в таком виде:

. (1.55)

Так как -переходная функция линейной части системы, то -передаточную функцию линейной части находят по выражению:

. (1.56)

Записав дифференциальное уравнение в операторной форме, находят передаточную функцию линейной части:

Раскладывают выражение на простейшие дроби. Для этого находят корни знаменателя и записывают соотношение:

(1.57)

где и - корни полинома знаменателя.

Методом неопределённых коэффициентов находят ,, и на основании свойства линейности по таблицам определяют:

где - период квантования.

Обозначив , находят

Поскольку в выражении (1.57) числитель имеет полином первой степени, то

где

Ниже приведена таблица некоторых соотношений непрерывных и дискретных функций

1
t

Результирующая передаточная функция разомкнутой системы с ЦВМ может быть определена как произведение передаточных функций приведённой непрерывной части и передаточной функции цифрового фильтра

.

(1.58)

Связь выходной и входной величины разомкнутой цифровой системы, рассматриваемые в дискретные моменты времени в изображениях определяют по формуле:

.

(1.59)

где , - изображения выходной и входной величины. Дискретная передаточная функция замкнутой системы по ошибке

,

(1.60)

а между заданным и действительным значением регулируемой величины

.

(1.61)

Условием применимости формул (1.60) и (1.61) является равенство нулю переходной функции приведённой непрерывной части при . В системах с ЦВМ, где чистое запаздывание отсутствует, требуется, чтобы имела степень полинома знаменателя хотя бы на единицу больше степени полинома числителя. Передаточные функции , , могут быть использованы для оценки устойчивости и качества цифровых систем управления. При рассмотрении сигнала в дискретные моменты необходимо использовать дискретные передаточные функции для смещенных моментов времени , , и т.д. , например

.

(1.62)

Характеристическое уравнение замкнутой системы определяется путем приравнивания к нулю полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы либо путём приравнивания нулю суммы полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.