1.5 Определение периода квантования при дискретном измерении без потери информации непрерывного сигнала

Решетчатая функция может быть получена с помощью перемноже­ния модулирующего сигнала и последовательности равноот­стоящих мгновенных импульсов единичной площади :

,

где

. (1.22)

Здесь

для любого , .

Дискретный сигнал запишем так:

, (1.23)

а его спектр можно выразить следующим образом:

.(1.24)

Изображение Фурье -того члена суммы (1.24) можно за­писать в виде

;

или, применив теорему смещения параметра , получим

.

Если то ,

т.е. частотный спектр первого члена суммы есть частотный спектр модулируемого сигнала.

Для , т.е. частотный спектр второго члена суммы остается прежним, но сдвинутым в

частотной области на величину и т.д.

В итоге получим преобразование Фурье амплитудно-модулирован­ной последовательности импульсов в виде суммы частотных спект­ров непрерывной функции, смещенных по оси частот на величину , где .

. (1.25)

Это выражение справедливо, если при .

Если при , то

. (1.26)

Заменив , в уравнении (1.26) получим связь преобра­зований Лапласа для решетчатой функции с преобразованием Лапла­са для непрерывной функции

, (1.27)

где -преобразование и -преобразование связаны между собой

.

Если в качестве аргумента непрерывной функции принято отно­сительное время, то соотношение (1.27) представим в виде

, (1.28)

где .

Из частотного представления решетчатой функции (1.26) выте­кает теорема о дискретном представлении непрерывных функций. Она устанавливает связь между спектром непрерывной функции и частотой повторения импульсов, при которой возможно восстановление непрерывной функции.

В.А.Котельников доказал, что непрерывная функция может быть восстановлена без искажений, если частота повторения импульсов по крайней мере в два раза больше максимальной частоты спектра этой непрерывной функции, рисунок 1.5. .

Рисунок 1.5 - Спектр решетчатой функции

1.6 Основные свойства -преобразования

Как говорилось ранее, если в дискретном преобразовании Лап­ласа произвести замену , то получим:

.

Это соотношение дает некоторые преимущества по сравнению с дис­кретным преобразованием (упрощается запись выражений, легче вы­числяется обратное преобразование). При этом -преобразова­ние обладает следующими свойствами.

Линейность.

Если и -преобразования решетчатых функций , то

.

Действительно, . (1.29)

Опережение.

Пусть -преобразование решетчатой функции .

Тогда по определению

.

Умножив и разделив правую часть на , получим:

.

Обозначим , тогда

.

Для получения под знаком суммы полного ряда начиная с , прибавим и вычтем соответствующие слагаемые

. (1.30)

Для нулевых начальных условий

,

поэтому

. (1.31)

Свертка решетчатых функций.

. (1.32)

Изображение разностей.

На основании свойств о линейности и опережении можно запи­сать:

.

Для второй разности:

Продолжая дальнейшие вычисления разностей, можно заметить общую закономерность их получения:

. (1.33)

Для нулевых начальных условий

имеем:

. (1.34)

Дифференцирование изображения.

;

.

Умножив левую и правую часть равенства на , получаем:

. (1.35)

Умножение производной изображения на эквивалентно умножению оригинала на -, Это позволяет легко получать изображения степенных функций.

Например: ;

.

Начальное значение оригинала.

.

Умножим левую и правую части равенства на и устремим в бесконечность .

, поскольку -конечные величины и также конечны.

В итоге . (1.36)

Конечное значение оригинала.

Используя изображение конечной разности, запишем:

.

Умножим левую и правую части равенства на

Устремив к единице, найдем:

(1.37)