1.9 Цифровые аналоги типовых законов управления

Рассмотрим методику получения уравнений в конечных разностях и -передаточных функций эквивалентных законам уп­равления общепромышленных регуляторов на примере наиболее слож­ного ПИД -закона управления, из которого могут быть получены другие, как частные случаи.

Интегро-дифференциальное уравнение ПИД регулятора

, (1.45)

где - коэффициент усиления; - постоянная интегрирования; - постоянная дифференцирования.

Для малых периодов квантования это уравнение можно преобразовать в разностное путем замены производной первой раз­ностью, а интеграла - суммой.

Используя интегрирование по методу прямоугольников, выражение (1.45) можно записать так:

. (1.46)

Этот не рекуррентный алгоритм управления требует для формирования суммы помнить все предыдущие значения сигнала ошибки, поэто­му для программирования на ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы, которые для вычисления управляющего воздействия требуют знания предыдущего значения и поправочного чле­на. Если из (1.46) вычесть

,

то получим рекуррентный алгоритм управления:

, (1.47)

где .

Из уравнения (1.46) легко получаются соотношения для "П" и "ПД" регуляторов, когда отсутствует суммирование рассогласований

, (1.48)

или

, (1.49)

т.е. в этом случае не требуется знание предшествующего значения управляющего воздействия для получения . Для "ПИ" -закона разностное уравнение также получается из (1.46) с учетом знака суммы, но без последнего слагаемого. Лег­ко видеть, что в этом случае

, (1.50)

где

.

Для "И" -закона регулирования

, (1.51)

где .

Используя основные свойства (линейности и сдвига) для нуле­вых начальных условий:

;

,

находят для регулятора, например, реализующего ПИД -закон регулирования:

.

Взяв отношение -преобразования выходной величины к - преобразованию входной при нулевых начальных условиях, получа­ют дискретную передаточную функцию искомого элемента системы.

. (1.52)

В общем виде передаточную функцию цифрового фильтра можно записать так:

.

Этот алгоритм может быть реализован, если .

Соотношение порядка полиномов числителя и знаменателя может быть различным: или . Обычно в регуляторах , а . Для исключения статической ошибки в ал­горитме управления -го порядка необходимо иметь полюс . Поэтому структура регулятора -го порядка в простейшем слу­чае имеет вид:

Наиболее распространенным в практике управления является алгоритм второго порядка, . При подаче на вход регулятора единичного сигнала, получаем:

;

;

;

. . . . . . . . . . . . . .

. (1.53)

В случае, когда , дискретный регулятор соответствует непрерывному ПИД -регулятору с дополнительной за­держкой на один такт. Если , то можно записать следу­ющие соотношения для параметров регулятора :

при или ;

при для или .

На рисунке 1.6 представлены переходные процессы для алгорит­мов первого и второго порядков.

По аналогии с непрерывными регуляторами можно выделить сле­дующие коэффициенты, характеризующие свойства регуляторов:

- коэффициент усиления;

- коэффициент опережения;

- коэффициент интегрирования.

Для положительного коэффициента усиления регулятора , а диапазоны изменения параметров регулятора такие: .

Рисунок 1.6 - Переходные функции цифровых регуляторов

На рисунке 1.7 показаны области изменения параметров ПИД -регулятора.

Если вычислены оптимальные параметры непрерывного ПИД регулятора, то по ним можно посчитать оптимальные параметры цифрового регулятора.

Обозначим .

Тогда , (1.54)

При этом дискретная передаточная функция цифрового фильтра принимает вид: .

При малых периодах квантования и высокой разрядности АЦП и ЦАП параметры цифрового фильтра можно находить как для не­прерывного регулятора, после чего их следует пересчитать по формулам (1.54) для цифрового регулятора.

Рисунок 1.7 - Область параметров цифрового регулятора со свойствами непрерывного