1.12. Аналитический синтез алгоритма управления цифрового вычислительного устройства

В качестве критерия оптимизации при выборе параметров цифрового регулятора примем:

закончить переходный процесс на единичное ступенчатое воздействие за определенное время, переходный процесс должен быть апериодическим.

В основу метода положено представление процесса на выходе системы степенным рядом. Рассмотрим структурную схему системы с цифровым регулятором.

Рисунок 1.9 - Структурная схема системы с цифровым регулятором

Найдем передаточную функцию замкнутой системы между заданным значением X(Z) и ошибки управления (Z).

(1.76)

где

(1.77)

Решетчатая функция ошибки может быть найдена так:

(1.78)

Примем первый порядок астатизма системы, поскольку система предназначается для стабилизации регулируемой величины, и, следовательно, будет обладать нулевой статической ошибкой регулирования. В этом случае передаточная функция замкнутой системы должна делится на и, следовательно, ее можно представить так:

(1.79)

Из выражений (1.78) и (1.79) следует, что изображение ошибки системы, имеющей астатизм первого порядка, при обработке единичного сигнала равно , которое можно представить суммой бесконечного ряда:

(1.80)

В этом выражении при . Кроме того, , когда . Здесь - безразмерное (относительное) время переходного процесса.

Передаточная функция замкнутой системы между заданным и действительным значением регулируемой величины:

(1.81)

Из выражения (1.81) можно записать алгоритм цифрового вычислительного устройства

или

(1.82)

Таким образом, задача синтеза алгоритма цифрового управления сводится к определению , или для астатической системы .При этом необходимо удовлетворить следующие требования:

1. Алгоритм ЦВУ должен быть физически реализуем. Это условие заключается в сравнении степени полинома числителя и знаменателя относительно переменной . При этом определяется по выражению (1.82).

2. Замкнутая система должна быть устойчива.

3. Передаточная функция должна быть полиномом минимальной степени .

Поскольку непрерывная часть цифровой системы управления (ЦСУ) инерционная и, следовательно, переходная функция непрерывна и , то будет делиться на .

(1.83)

где .

Степень полинома на единицу (или более) меньше степени полинома .

Пусть ряд, образовавшийся из передаточной функции имеет вид:

(1.84)

Используя выражение (1.82), передаточную функцию цифрового устройства можно записать так:

(1.85)

Если , то степень полинома числителя на единицу больше степени полинома знаменателя, т.е. алгоритм ЦВУ не реализуем. Следовательно, условие реализуемости алгоритма заключается в том, чтобы делилась на (или на , где - индекс передаточной функции линейной части - разница степеней полиномов знаменателя и числителя относительно ). Таким образом, должно выполняться условие:

(1.86)

Из требования устойчивости вытекают следующие особенности формирования закона цифрового управления:

1. Так как , то устойчивость замкнутой САУ определяется наличием полюсов или нулей передаточной функции на окружности единичного радиуса или вне ее.

2. Полюс во внимание не принимается.

Если полюс на окружности или вне ее и этот полюс . Передаточные функции представляются полиномами относительно вида (1.83), поэтому , если одна из функций или имеет нуль равный . Но так как есть степенной ряд, то пусть . В этом случае неустойчивый полюс устраняется неустойчивым нулем алгоритма ЦВУ. Поскольку ЦВМ работает неточно из-за ошибки квантования, то это приводит к смещению полюсов и нулей и, следовательно, к неустойчивости всей системы. Отсюда вывод:

неустойчивые полюса передаточной функции должны быть нулями передаточной функции .

Если - нуль передаточной функции , то передаточная функция должна иметь полюс, равный , или передаточная функция должна иметь ноль, равный , т.е.

Поскольку все полюса совпадает с началом координат, то компенсировать нуль, равный , она не может.

Пример. Произвести синтез алгоритма ЦВМ, обеспечивающего переходный процесс без перерегулирования и заканчивающимся за минимальное время.

Дано

Решение

С учетом после несложных преобразований получаем

.

Числитель можно записать в виде:

где

.

Теперь можно найти передаточную функцию замкнутой системы Ф(z). Она должна делиться на (условие физической реализуемости алгоритма ЦВМ) и на (условие устойчивости).

Поэтому примем:

(1.87)

где - неопределенный множитель. Из выражения (1.87) видно, что Ф(z) - полином минимальной степени, удовлетворяющий приведенным выше требованиям.

Так как обладает астатизма первого порядка, то передаточная функция ошибки должна делиться на Кроме того, из (1.87) следует что - полином второй степени относительно , следовательно,

где - величины, подлежащие определению.

Подставив значение в выражение (1.87), получим:

из которого следует

С учетом полученного результата

(1.88)

Алгоритм ЦВМ, определяемый поставленными требованиями с учетом , имеет вид:

Ошибка системы при отработке единичной ступенчатой функции при имеет вид:

откуда числовая последовательность

т.е. ошибка обращается в нуль, начиная с момента , поэтому время регулирования равно , переходный процесс монотонный.