- •К санкт-петербург 2004 афедра "Прочность материалов и конструкций"
- •Введение
- •Программа курса
- •Основные понятия
- •Осевое растяжение и сжатие прямоосного стержня
- •Механические свойства материалов
- •Основы теории напряженного и деформированного состояний в локальной области деформированного твердого тела
- •Классические теории прочности и пластичности
- •Геометрические характеристики поперечных сечений стержней
- •Кручение прямоосного стержня
- •Изгиб прямоосного стержня
- •Идеализации, применяемые в сопротивлении материалов.
- •Внешние силы.
- •Механическое напряжение
- •Внутренние усилия в поперечном сечении стержня
- •Деформации
- •Закон Гука
- •Гипотеза плоских сечений
- •Осевая деформация
- •Статически неопределимые задачи при осевом действии сил
- •Понятие о методе расчета по разрушающим (допускаемым) нагрузкам.
- •Кручение.
- •Подстановка формулы (2.24) в условие эквивалентности (2.23) дает
- •Поперечный изгиб.
- •Правило знаков для и .
- •Чистый изгиб.
- •Наибольшие нормальные напряжения в сечении стержня возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси х, то есть
- •Задания на контрольные работы с примерами решения.
- •Задача 1 "Расчет прямоосного ступенчатого стержня на осевое действие сил".
- •Пример решения задачи.
- •Рассматривается равновесие нижней отсеченной части (рис3.2.Г)
- •Задача 2 "Расчет статически определимой шарнирно-стержневой системы".
- •Пример решения задачи.
- •Определение продольных сил в стержнях системы.
- •Задача 3 "Расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы"
- •Пример выполнения задачи1
- •Определение грузоподъемности системы по методу допускаемых напряжений.
- •Задача 4 "Кручение прямоосного составного стержня".
- •Пример решения задачи.
- •Задача 5 "Плоский поперечный изгиб стержня".
- •Пример решения задачи.
- •Лабораторный практикум
- •Лабораторная работа № 1. "Растяжение стального образца до разрыва".
- •Для проведения испытаний используется разрывная машина, снабженная записывающим устройством. В процессе испытания автоматически вычерчивается диаграмма растяжения.(рис.4.2)
- •Определение удельной работы разрыва.
- •Лабораторная работа № 2. "Испытание на сжатие образцов из различных материалов"
- •Лабораторная работа № 3. "Исследования упругих свойств стали при растяжении – сжатии".
- •Лабораторная работа № 4. "Исследование упругих свойств стали при кручении".
- •Контрольные вопросы к защите лабораторных работ
- •Контрольные вопросы к зачету и экзамену1
- •Часть 1
- •Приложение
-
Правило знаков для и .
Изгибающий момент положителен, если деформирует балку выпуклостью вниз (рис.2.9,а). Поперечная сила положительная, если поворачивает вырезанный из балки элемент по часовой стрелке (рис.2.9,б).
|
Рис.2.9 |
-
Чистый изгиб.
Из рассмотрения картины деформации элемента стержня при чистом изгибе (рис.2.5.в) была получена зависимость . С учетом данной зависимости формула, выражающая закон Гука для линейной деформации, приобретает вид
(2.35)
Подстановка формулы (2.35) в условия статической эквивалентности (2.1), (2.4) и (2.5) дает
, , (2.36)
Вынося постоянные и за знак интеграла и вводя обозначения , и , формулы (2.36) можно переписать в виде
, , (2.37)
где - статический момент площади поперечного сечения стержня относительно оси x. - осевой момент инерции площади поперечного сечения относительно оси , - центробежный момент инерции. При чистом изгибе в одной плоскости продольная сила и изгибающий момент , а это возможно лишь в том случае, когда и , что обеспечивается надлежащим выбором осей x и y.
Из курса теоретической механики известно, что равенство нулю статического момента фигуры относительно некоторой оси, означает, что данная ось центральная (проходит через центр тяжести сечения). Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.
Из формулы (2.37) определяется значение кривизны:
, (2.38)
где - изгибная жесткость стержня.
Формула вычисления нормальных напряжений в балках (2.35) с учетом найденного значения кривизны принимает вид:
(2.39)
При у=0 , , то есть в точках, принадлежащих центральной оси х, нормальные напряжения равны нулю. Поэтому, в дальнейшем ось х будет именоваться нейтральной. График, показывающий изменение нормального напряжения по высоте сечения стержня, называется эпюрой напряжений. На рис.2.10 показаны эпюры нормальных напряжений для некоторых форм поперечного сечения стержня
Значение осевого момента инерции для различных форм поперечного сечения можно найти в справочной литературе. В частности, для приведенных на рис.2.10 прямоугольника и круга, формулы вычисления осевого момента инерции имеют вид ,. Третья форма поперечного сечения, приведенная на рис.2.10, называется "двутавр" и относится к группе стандартных прокатных профилей. Значение осевого момента инерции стандартного прокатного профиля определяется по номеру прокатного профиля с помощью специальных таблиц, которые называются "сортамент".
|
Рис.2.10 |
Наибольшие нормальные напряжения в сечении стержня возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной оси х, то есть
(2.40)
Принята специальная форма записи формулы (2.40) в виде
, (2.41)
где - осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси х.
Условие прочности по нормальным напряжениям выражается формулой
(2.42)
Три типа задач, решаемых с помощью условия прочности:
-
проверка прочности - ;
-
подбор поперечного сечения - ;
-
определение несущей способности - .
При поперечном изгибе кроме изгибающего момента в сечениях балки возникает поперечная сила . Согласно условию статической эквивалентности (формула 2.3) поперечная сила есть равнодействующая распределенных по сечению касательных напряжений
(2.43)
Касательные напряжения в балках вычисляются по формуле Журавского
(2.44)
(вывод формулы Журавского и комментарий к формуле можно найти в любом курсе сопротивления материалов).
Распределение касательных напряжений по высоте сечения балки носит нелинейный (параболический) характер. Максимальные касательные напряжения возникают в точках, расположенных на нейтральной оси х (рис.2.11). Скачки на эпюре касательных напряжений обусловлены скачкообразным изменением ширины поперечного сечения балки (величина в формуле 2.44).
|
Рис.2.11 |
Для балок, имеющих рациональные (тонкостенные) поперечные сечения, необходима проверка прочности материала по максимальным касательным напряжениям . Вторая проверка прочности производится по формуле Журавского в сечениях балки с максимальным значением поперечной силы в точках сечения, расположенных на нейтральной оси.