ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Императора Александра I

Кафедра «Прочность материалов и конструкций»

Прикладная механика 2

Вариант № 8

Выполнил:Богатова Н.А.

Уч.шифр:13-УППц-308

Проверил:

Г.Санкт-Петербург

2015 год

Задача №1. Расчет прямоосного ступенчатого стержня

на осевое действие сил

Исходные данные:

a=0.7 м, b=0.8 м, c=0.7 м, F₁=40 кН, F₂=120 кН, F₃=60 кН, q=100 кН/м, [σ]=12 МПа, Е=10⁴ ГПа.

Рис.1.1 Схема стержня и эпюра продольных сил N_z

Запишем уравнение равновесия всех сил на ось z и найдем реакцию опоры:

В пределах каждого участка проводится сечение и показывается отсеченная часть (рис.2 а,б,в). Для каждой отсеченной части записываем уравнение равновесия и строим эпюры:

Рис. 1.2 Отсеченные части стержня

На рисунке 1.1 показана эпюра продольных сил для ступенчатого стержня. Найдем площадь для каждого участка из условия прочности, используя следующую формулу:

,

где A_i – площадь поперечного сечения i-го участка,

|N_i|max – максимальное значения усилия на i-го участка,

[σ] – допускаемое значение нормального напряжения материала стержня.

Используя эпюру продольных сил, получим следующие значения площадей:

Найдем перемещение точки К по формуле:

где ω_Ni – площадь (с учетом знака) эпюры продольной силы і-го участка,

EA_i – продольная жесткость i-го участка стержня.

Подставим значения и получим:

Задача №2. Расчет статически определимой

шарнирно-стержневой системы

Исходные данные:

а = 1.6 м, b = 1.6 м, h = 1.2 м, α = 50, F = 60 кН, q = 50 кН/м, для дерева: E_д = 10⁴ МПа, [σ] = 12 МПа; для стали: E_ст = 2`10⁵ МПа, [σ] = 160 МПа.

Рис.2.1 Схема шарнирно-стержневой системы

Для определения реакций опор и усилий в элементах шарнирно-стержневых систем рассматривается равновесие абсолютно жесткого диска (элемент с штриховкой). Для этого заменим стержни на реакции и получим расчетную схему, представленную на рис. 2.

Рис. 2 Расчетная схема

Для заданной расчетной схемы запишем уравнения равновесия и найдем усилия в стержнях.

Найдем площади на каждом стержне из условия прочности. Для стержней 1 и 2 площадь будет равна:

Тогда размеры поперечного сечения квадрата будут равны a₂=0.105 м.

Найдем площадь для третьего стержня, круглого поперечного сечения:

Тогда размеры диаметра круга будут равны d = 0.074 м.

Найдем удлинения каждого стержня по формуле:

,

где N_i – усилие действующее в i-м стержне,

l_i – длина i-го стержня,

EA_i – продольная жесткость i-го стержня.

Подставим значения получим:

Задача №5. Кручение валов кругового сечения

Исходные данные:

a = 1.4 м, b = 1.4 м, c = 1.8 м, М₁ = 70 кН·м, М₂ = 60 кН·м, М₃ = 60 кН·м, [φ] = 0.4 град/м, [τ] = 80 МПа, G = 0.8·10⁵ МПа.

Рис. 1 Схема вала

Запишем уравнение равновесия относительно оси вала и найдем неизвестный момент M₀:

Построим эпюру моментов показанную на рис.1. Для этого разобьем вал на три участка по методу сечений и рассмотрим их равновесие.

1 участок:

0≤z≤a

2 участок:

a≤z≤a+b

3 участок:

a+b≤z≤a+b+c

Рис.2 Разбиение на участки

Из условий прочности и жесткости подберем сечения вала в виде круга.

Условие прочности: , где , полярный момент сопротивления. Тогда диаметр круга равен:

Условие жесткости: , где , полярный момент инерции. Тогда диаметр круга равен:

Выбираем наибольший диаметр d = 0.186 м.

Аналогично подберем поперечное сечение для полого вала, принимая отношение

Тогда из условий прочности и жесткости получим:

Выбираем наибольший диаметр D = 0.212 м.

Вычислим в процентах величину экономии материла для полого вала:

Полый вал экономично эффективен по сравнению с кругом на 55.6%.

Построим эпюру углов закручивания используя формулу . Поскольку вал в виде колец более эффективен, то строим для полого вала, принимая в качестве неподвижного левое крайнее сечение.

Тогда получим:

1 участок 0≤z≤a

2 участок a≤z≤a+b

3 участок a+b≤z≤a+b+c

Эпюра углов закручивания представлена на рис.1.

Задача №6. Плоский поперечный изгиб стержня

Исходные данные:

a = 2.6 м, b = 2.6 м, F₁ = 15 кН·м, F₂ = 30 кН·м, q = 30 кН/м.

Рис.6.1 Схема стержня

Показываем опорные реакции и составляем уравнения равновесия для их нахождения.

Сумма всех моментов относительно точки А:

Сумма всех сил на ось y:

Сумма всех сил на ось x:

Методом сечений строим эпюры внутренних сил. На стержне можно выделить два грузовых участка. Проводим сечение 1 в пределах первого грузового участка – на расстояние z₁ (0≤z₁≤b=2.6 м) от правого конца балки, рассматриваем правую отсеченную часть. Показываем в проведенном сечении внутренние усилия, согласно правилу знаков, составляем уравнения равновесия.

Сумма проекций на ось Y:

Сумма моментов относительно проведенного сечения 1:

Проводим сечение 2 в пределах второго грузового участка расстояние z₂ (0≤z₂≤a=2.6 м) от правого конца балки, рассматриваем правую отсеченную часть. Показываем в проведенном сечении внутренние усилия, согласно правилу знаков, составляем уравнения равновесия.

Сумма проекций на ось Y:

Сумма моментов относительно проведенного сечения 2:

По полученным значениям строим эпюры.

Подберем поперечное сечение в виде двутавра. Для этого воспользуемся формулой

По сортаменту "Сталь горячекатаная. Балки двутавровые" выбираем двутавр №33, для которого W_x = 597 см³, I_x = 9840 см⁴ , S_x = 339 см³ , [τ]=80 МПа. b=7 мм

Проверим прочность на нейтральной оси. Так как на нейтральной ось двутавра действуют только касательные усилия воспользуемся формулой:

Условие прочности по касательным выполняется.

Рис. 2 Эпюры внутренних сил

Задача №11. Устойчивость сжатых стержней

Исходные данные: μ=1, l = 3 м, I_x = I_y = 11,2 см⁴, F=4.8 cм², b = 50 мм, z₀ = 1,42см.

Рис.2 Поперечное сечение

Рис.1 Схема стержня

Найдем площадь и моменты инерции сечения

Найдем минимальный радиус инерции:

Тогда гибкость стержня:

Для стали λ₀ = 40, λ_пр = 100. Тогда λ> λ_пр и следовательно, критическую силу необходимо определять по формуле с учетом что ст 3 пластичный материал, берем предел текучести:

Найдем величину допускаемой нагрузки на устойчивость, при [σ] = 120 МПа. Из условия на устойчивость получаем

Следовательно коэффициент φ определяем по таблице λ-φ путем линейного интерполирования по формуле:

Тогда допускаемая сила на устойчивость

Определим величину коэффициента запаса по устойчивости:

.