Розв’язання диференціальних рівнянь з частинними похідними

В даному випадку значення розв’язку фіксується не в двох точках, а в цілому континіумі точок, які є межею деякої області.

Два диференціальні рівняння з частинними похідними, які часто виникають при аналізі фізичних явищ, відомі як рівняння Пуассона:

і його однорідна форма – рівняння Лапласа

MathCAD має дві функції для розв’язання цих рівнянь в області з квадратною межею. Якщо відомі значення, які приймає невідома функція на всіх сторонах квадрата, то використовують функцію relax. Якщо ж функція дорівнює нулю на всіх сторонах квадрата, то можна використовувати функцію multigrid.

Рівняння Пуассона на квадратній області представляється у вигляді:

Розглянемо детальніше функції relax і multigrid.

• relax (a, b, c, d, e, f, u, r)

a, b, c, d, e – квадратні матриці однакових розмірів, які містять коефіцієнти наведеного вище рівняння.

f – квадратна матриця, яка містить значення правої частини рівняння в кожній точці по області, в якій шукається розв’язок.

u – квадратна матриця, яка містить граничні значення розв’язку на межі області і початкове наближення для розв’язку в середині області.

r – спектральний радіус ітерації Якобі.

• multigrid (M, n)

M – квадратна матриця розміром . Містить значення правої частини рівняння у відповідній точці квадратної області.

n – кількість циклів у кожному рівні ітерації (добру апроксимацію дає значення 2).

Використовуючи команди символьної математики, можна розв’язати диференціальне рівняння в аналітичному вигляді.

Контрольні запитання

1. Яка функція використовується для розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку?

2. Який метод розв’язання диференціальних рівнянь використовує функція rkfixed(y,x1,x2,n,D)?

3. Що потрібно для розв’язання системи диференціальних рівнянь першого порядку?

4. Для чого призначена функція relax?

5. В якому випадку для розв’язування диференціальних рівнянь використовують функцію multigrid?

1.6 Матричні операції. Розв’язування лінійних і нелінійних рівнянь та систем рівнянь в середовищі пакету MathCad

Символьний процесор системи MathCAD забезпечує проведення в символьному вигляді трьох найбільш поширених матричних операцій: транспонування, створення обернених матриць, а також обчислення їх детермінанта (визначника). Ці команди в підменю Матриці меню Символи позначені так: Транспонування, Інверсія і Визначник. Якщо елементи матриці – числа, то відповідні операції виконуються в числовій формі. При виконанні матричних операцій, потрібна матриця має бути виділеною.

Робота з масивами, векторами і матрицями

Ранжована змінна відрізняється від вектора тим, що неможливе використання її окремих значень, скажімо, другого чи п’ятого, - вона існує “вся зразу”, до окремих її значень доступу нема. При необхідності мати доступ до кожного значення змінної з декількома компонентами вона повинна бути задана в вигляді масиву – одномірного (вектора) чи двомірного (матриці). Доступ означає, що кожному елементу вектора чи масиву може бути присвоєно значення і до кожного елементу можна добратись для зчитування його значення. Так, елементами вектора, наприклад, V, являються індексовані змінні V_i.

В MathCAD масив, як і будь-яка інша змінна задається іменем. Місцезнаходження елемента задається одним індексом для вектора чи двома індексами, розділеними комою, для матриці. Нумерація індексів вектора чи матриці починаються з індексу 0 по замовчуванню. Його можна змінити на 1 чи навпаки з допомогою системної змінної Orign, яка може приймати значення 0 або 1. Індекси можуть бути тільки цілими додатніми числами і нулем.

Для введення індексу використовується знак “[”, або кнопка Індекс з панелі інструментів Математика.

П р.