1.5 Розв’язування диференціальних рівнянь в середовищі пакету

MathCAD

Розв’язування диференціальних рівнянь 1-го порядку. Розв’язок задачі Коші

При розв’язуванні диференціального рівняння шуканою величиною є функція. MathCAD має ряд вбудованих функцій, призначених для чисельного розв’язання диференціального рівняння. В результаті розв’язання одержується матриця, яка містить значення функції–розв’язку, обчислені на деякій множині точок. При використанні вбудованих функцій, які передбачають різні методи пошуку розв’язку в загальному випадку повинні бути задані такими величинами:

1. Початкові умови;

2. Набір точок, в яких потрібно знайти розв’язок;

3. Саме диференціальне рівняння.

Для розв’язання диференціальних рівнянь першого порядку в MathCAD використовується функція rkfixed(y,x1,x2,n,D), яка використовує метод Рунге-Кутти 4-го порядку.

y – вектор початкових умов розмірності n, де n – порядок диференціального рівняння чи кількість рівнянь у системі. У випадку диференціального рівняння першого порядку вектор початкових умов вироджується в одну точку .

x1, x2 – граничні точки інтервалу, на якому шукається розв’язок диференціального рівняння.

n – кількість точок (не рахуючи початкової), в яких шукається наближений розв’язок. Цей аргумент визначає кількість рядків (n+1) в матриці, яку повертає функція rkfixed.

D(x,y) – вектор-функція перших похідних.

Розв’язання системи диференціальних рівнянь першого порядку

Для того, щоб розв’язати систему диференціальних рівнянь першого порядку, потрібно:

1. Задати вектор, який містить початкові значення для кожної невідомої функції.

2. Означити функцію, яка повертає значення у вигляді вектора з n елементів, які містять перші похідні кожної з невідомих функцій.

3. Вибрати точки, в яких потрібно знайти наближений розв’язок.

4. Задати відповідно функцію rkfixed.

В цьому випадку функція rkfixed повертає матрицю, перший стовпчик якої містить точки, в яких шукається наближений розв’язок, а інші стовпці містять значення знайдених наближених розв’язків у відповідних точках.

Розв’язання диференціальних рівнянь другого порядку

Диференціальне рівняння другого порядку розв’язується зведення рівняння до системи двох рівнянь першого порядку. Для диференціального рівняння другого порядку:

1. Вектор початкових умов у містить два елемента – значення функції та її похідної в початковій точці інтервалу х1.

2. Функція D(t,y) є вектором з двох елементів:

3. Матриця, одержана в результаті розв’язання, містить три стовпці: перший – значення t, в яких шукається розв’язок; другий – значення y(t) функції розв’язку; третій – значення похідної.

Розв’язання системи диференціальних рівнянь вищого порядку

Методика розв’язання системи диференціальних рівнянь, кожна з яких може містити похідні від невідомих функцій вище першого порядку, така ж, як було описано вище. Зауважимо, що будь-яке рівняння виду

за допомогою заміни

може бути зведена до сукупності рівнянь:

таким чином ми одержали систему з більшою кількістю невідомих функцій, але з похідними лише першого порядку.

В цьому випадку функція rkfixed повертає матрицю, в якій перший стовпчик містить точки, в яких повинні бути знайдені розв’язки та їх похідні; інші стовпці містять значення розв’язків та їх похідних, відповідних точкам із першого стовпця. Порядок, в якому виводяться розв’язки та їх похідні повторює порядок їх розташування в функції D(x,y) і векторі початкових умов.