2. Случайные деревья поиска

Случайные деревья поиска представляют собой упорядоченные бинарные деревья поиска, при создании которых элементы (их ключи) вставляются в случайном порядке.

При создании таких деревьев используется тот же алгоритм, что и при добавлении вершины в бинарное дерево поиска. Будет ли созданное дерево случайным или нет, зависит от того, в каком порядке поступают элементы для добавления. Примеры различных деревьев, создаваемых при различном порядке поступления элементов приведены ниже.

Рисунок 32. Случайные и вырожденные деревья поиска

При поступлении элементов в случайном порядке получаем дерево с минимальной высотой h (см. Рисунок 32.а), а соответственно минимизируется время поиска элемента в таком дереве, которое пропорционально O(log n). При поступлении элементов в упорядоченном виде (см. Рисунок 32.б) или в несколько необычном порядке (см. Рисунок 32.в) происходит построение вырожденных деревьев поиска (оно вырождено в линейный список), что нисколько не сокращает время поиска, которое составляет O(n).

3. Оптимальные деревья поиска

При поиске в двоичном дереве одни элементы могут искаться чаще, чем другие, то есть существуют вероятности p_k поиска k-го элемента и для различных элементов эти вероятности неодинаковы. Можно сразу предположить, что поиск в дереве в среднем будет более быстрым, если те элементы, которые ищутся чаще, будут находиться ближе к корню дерева.

Пусть даны 2n+1 вероятностей p₁, p₂, …, p_n, q₀, q₁, …, q_n, где

p_i – вероятность того, что аргументом поиска является K_i;

q_i – вероятность того, что аргумент поиска лежит между K_i и K_i+1;

q₀ – вероятность того, что аргумент поиска меньше, чем K₁;

q_n – вероятность того, что аргумент поиска больше, чем K_n;

Тогда цена дерева поиска C будет определяться следующим образом:

где levelroot_j – уровень узла j, а levellist_k – уровень листа k.

Дерево поиска называется оптимальным, если его цена минимальна или, другими словами, оптимальное бинарное дерево поиска – это бинарное дерево поиска, построенное в расчете на обеспечение максимальной производительности при заданном распределении вероятностей поиска требуемых данных.

Существует подход построения оптимальных деревьев поиска, при котором элементы вставляются в порядке уменьшения частот, что дает в среднем неплохие деревья поиска. Однако этот подход может дать вырожденное дерево поиска (см. п. 3.3.4.2), которое будет далеко от оптимального.

Еще один подход состоит в выборе корня k таким образом, чтобы максимальная сумма вероятностей для вершин левого поддерева или правого поддерева была настолько мала, насколько это возможно. Такой подход также может оказаться плохим в случае выбора в качестве корня элемента с малым значением p_k.

Существуют алгоритмы, которые позволяют построить оптимальное дерево поиска. К ним относится, например, алгоритм Гарсия-Воча. Однако такие алгоритмы имеют временную сложность порядка O(n²), а некоторые еще имеют такую же пространственную сложность. Таким образом, создание оптимальных деревьев поиска требует больших накладных затрат, что не всегда оправдывает выигрыш при быстром поиске.