- •Содержание
- •Основные сведения
- •Понятия алгоритма и структуры данных
- •Анализ сложности и эффективности алгоритмов и структур данных
- •Структуры данных
- •Элементарные данные
- •Данные числовых типов
- •Данные целочисленного типа
- •Данные вещественного типа
- •Операции над данными числовых типов
- •Данные символьного типа
- •Данные логического типа
- •Данные типа указатель
- •Линейные структуры данных
- •Множество
- •Линейные списки
- •Линейный однонаправленный список
- •Линейный двунаправленный список
- •Циклические списки
- •Циклический однонаправленный список
- •Циклический двунаправленный список
- •Разреженные матрицы
- •Матрицы с математическим описанием местоположения элементов
- •Матрицы со случайным расположением элементов
- •Очередь
- •Нелинейные структуры данных
- •Мультисписки
- •Слоеные списки
- •Спецификация
- •Реализация
- •Деревья
- •Общие сведения
- •Обходы деревьев
- •Спецификация двоичных деревьев
- •Реализация
- •Основные операции
- •Организация
- •Представление файлов b-деревьями
- •Основные операции
- •Общая оценка b-деревьев
- •Алгоритмы обработки данных
- •Методы разработки алгоритмов
- •Метод декомпозиции
- •Динамическое программирование
- •Поиск с возвратом
- •Метод ветвей и границ
- •Метод альфа-бета отсечения
- •Локальные и глобальные оптимальные решения
- •Алгоритмы поиска
- •Поиск в линейных структурах
- •Последовательный (линейный) поиск
- •Бинарный поиск
- •Хеширование данных
- •Функция хеширования
- •Открытое хеширование
- •Закрытое хеширование
- •Реструктуризация хеш-таблиц
- •Поиск по вторичным ключам
- •Инвертированные индексы
- •Битовые карты
- •Использование деревьев в задачах поиска
- •Упорядоченные деревья поиска
- •Случайные деревья поиска
- •Оптимальные деревья поиска
- •Сбалансированные по высоте деревья поиска
- •Поиск в тексте
- •Прямой поиск
- •Алгоритм Кнута, Мориса и Пратта
- •Алгоритм Боуера и Мура
- •Алгоритмы кодирования (сжатия) данных
- •Общие сведения
- •Метод Хаффмана. Оптимальные префиксные коды
- •Кодовые деревья
- •Алгоритмы сортировки
- •Основные сведения. Внутренняя и внешняя сортировка
- •Алгоритмы внутренней сортировки
- •Сортировка подсчетом
- •Сортировка простым включением
- •Сортировка методом Шелла
- •Сортировка простым извлечением.
- •Древесная сортировка
- •Сортировка методом пузырька
- •Быстрая сортировка (Хоара)
- •Сортировка слиянием
- •Сортировка распределением
- •Сравнение алгоритмов внутренней сортировки
- •Алгоритмы внешней сортировки
- •Алгоритмы на графах
- •Алгоритм определения циклов
- •Алгоритмы обхода графа
- •Поиск в глубину
- •Поиск в ширину (Волновой алгоритм)
- •Нахождение кратчайшего пути
- •Алгоритм Дейкстры
- •Алгоритм Флойда
- •Переборные алгоритмы
- •Нахождение минимального остовного дерева
- •Алгоритм Прима
- •Алгоритм Крускала
- •190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67
-
Локальные и глобальные оптимальные решения
Описанная ниже стратегия нередко приводит к оптимальному решению задачи:
-
находится произвольное решение;
-
для улучшения текущего решения применяется к нему какое-либо преобразование из некоторой заданной совокупности преобразований. Это улучшенное решение становится новым «текущим» решением.
-
указанная процедура повторяется до тех пор, пока ни одно из преобразований в заданной их совокупности не позволит улучшить текущее решение.
Результирующее решение может, хотя и необязательно, оказаться оптимальным. В принципе, если «заданная совокупность преобразований» включает все преобразования, которые берут в качестве исходного одно решение и заменяют его каким-либо другим, процесс «улучшений» не закончится до тех пор, пока не получим оптимальное решение. Но в таком случае время выполнения пункта (2) окажется таким же, как и время, требующееся для анализа всех решений, поэтому описываемый подход в целом окажется достаточно бессмысленным.
Этот метод имеет смысл лишь в том случае, когда можно ограничить совокупность преобразований небольшим ее подмножеством, что дает возможность выполнить все преобразования за относительно короткое время: если «размер» задачи равняется n, то можно допустить O(n2) или O(n3) преобразований. Если совокупность преобразований невелика, естественно рассматривать решения, которые можно преобразовывать одно в другое за один шаг, как «близкие». Такие преобразования называются «локальными», а соответствующий метод называется локальным поиском.
Одной из задач, которую можно решить именно методом локального поиска, является задача нахождения минимального остовного дерева (см. п. 3.6.4). Локальными преобразованиями являются такие преобразования, в ходе которых берется то или иное ребро, не относящееся к текущему остовному дереву, оно добавляется в это дерево (в результате должен получиться цикл), а затем убирается из этого цикла в точности одно ребро (предположительно, ребро с наивысшей стоимостью), чтобы образовалось новое дерево.
Время, которое занимает выполнение этого алгоритма на графе из n узлов и e ребер, зависит от количества требующихся улучшений решения. Одна лишь проверка того факта, что преобразования уже неприменимы, может занять О(n*e) времени, поскольку для этого необходимо перебрать e ребер, а каждое из них может образовать цикл длиной примерно n. Таким образом, этот алгоритм несколько хуже, чем алгоритмы Прима и Крускала (см. п.п. 3.6.4.1 и ), однако он может служить примером получения оптимального решения на основе локального поиска.
Алгоритмы локального поиска проявляют себя с наилучшей стороны как эвристические алгоритмы для решения задач, точные решения которых требуют экспоненциальных затрат времени (относятся к классу EXPTIME). Общепринятый метод поиска состоит в следующем. Начать следует с ряда произвольных решений, применяя к каждому из них локальные преобразования до тех пор, пока не будет получено локально-оптимальное решение, то есть такое, которое не сможет улучшить ни одно преобразование. Как показывает Рисунок 25, на основе большинства (или даже всех) произвольных начальных решений нередко будут получаться разные локально-оптимальные решения. Если повезет, одно из них окажется глобально-оптимальным, то есть лучше любого другого решения.
Рисунок 25. Локальный поиск в пространстве решений
На практике можно и не найти глобально-оптимального решения, поскольку количество локально-оптимальных решений может оказаться колоссальным. Однако можно, по крайней мере, выбрать локально-оптимальное решение, имеющее минимальную стоимость среди всех найденных решений.