2. Реализация

Выбор структуры данных для хранения графа в памяти имеет принципиальное значение при разработке эффективных алгоритмов. Рассмотрим два матричных и три списочных представления графа:

• матрица смежности;

• матрица инцидентности;

• списки смежных;

• список ребер;

• списки вершин и ребер.

При дальнейшем изложении будем предполагать, что вершины графа обозначены символьной строкой и всего их до n, а ребер – до m. Каждому ребру и каждой вершине сопоставлен вес – целое положительное число. Если граф не является помеченным, то считается, что вес равен единице.

Матрица смежности это двумерный массив размером n*n:

type

TAdjacencyMatrix = array [1..n, 1..n] of integer;

var

Graph: TAdjacencyMatrix;

При этом

Вес вершины указывается в элементах матрицы смежности, находящихся на главной диагонали, только в том случае, если в графе отсутствуют петли. Иначе, в этих элементах указывается вес петли.

Пространственная сложность этого способа V(n)~O(n²). Этот способ очень хорош, когда нам надо часто проверять смежность или находить вес ребра по двум заданным вершинам.

Матрица инцидентности это двумерный массив размером n*m:

type

TIncidenceMatrix = array [1..n, 1..m] of integer;

var

Graph: TIncidenceMatrix;

При этом

Пространственная сложность этого способа V(n, m)~O(n*m). Матрица инцидентности лучше всего подходит для операции «перечисление ребер, инцидентных вершине x».

Списки смежных это одномерный массив размером n, содержащий для каждой вершины указатели на списки смежных с ней вершин:

type

PNode = ^Node;

Node = record {смежная вершина}

Name: string; {имя смежной вершины}

Weight: integer; {вес ребра}

Next: PNode; {следующая смежная вершина}

end;

TAdjacencyList = array [1..n] of record

NodeWeight: integer; {вес вершины}

Name: string; {имя вершины}

List: PNode; {указатель на список смежных}

end;

var

Graph: TAdjacencyList;

Пространственная сложность этого способа V_max(n)~O(n²). Хранение списков в динамической памяти позволяет сократить объем расходуемой памяти, так как в этом случае не будет резервироваться место под n соседей для каждой вершины. Можно и сам массив представить в виде динамического списка, но это не имеет особого смысла, так как граф, обычно, является статичной (неизменяемой) структурой.

Этот способ хранения лучше всех других подходит для операции «перечисление всех вершин смежных с x».

Перечень ребер это одномерный массив размером m, содержащий список пар вершин, инцидентных с одним ребром графа:

type

TBranchList = array [1..m] of record

Node1: string; {1-я вершина, инцидентная ребру}

Node2: string; {2-я вершина, инцидентная ребру}

Weight: integer; {вес ребра}

end;

var

Graph: TBranchList;

Пространственная сложность этого способа V(m)~O(m). Этот способ хранения графа особенно удобен, если главная операция, которой чаще всего выполняется, это перечисление ребер или нахождение вершин и ребер, находящихся в отношениях инцидентности.

Рисунок 13. Граф и его реализации

Граф можно представить в виде списочной структуры, состоящей из списков двух типов – списка вершин и списков ребер.

type

PNode = ^TNode;

PBranch = ^TBranch;

TNode = record {вершина}

Name: string; {имя вершины}

Weight: integer; {вес вершины}

Branch: PBranch; {выходящее ребро}

Next: PNode; {следующая вершина}

end;

TBranch = record {ребро}

Node: PNode; {вершина, в которую входит}

Weight: integer; {вес ребра}

Next: PBranch; {следующее выходящее ребро}

end;

var

Graph: PBranch;

Пространственная сложность этого способа V(n, m)~O(n+m).