3.4. Диалоговое произведение логик и вывод на нем.

Приведённое выше построение механизма вывода для L_dmin, удобно для описания логики малой размерности, однако, с увеличением мощности множества истинностных значений конструирование и использование правил вывода для каждого случая становится достаточно трудоемким.

В связи с этим рассмотрим подход, связанный с определением вывода в произведении логик через композицию выводов в базовых логиках. Рассмотрим две логики L₁ и L₂ (мы подразумеваем, что этими логиками пользуются два разных агента – участника диалога). Пусть существует формула F, она является тавтологией (тождественно истинна) в логиках обоих агентов, будет ли она тавтологией в логике L₁L₂?

Для начала введём несколько определений.

Определение 3.25. Операция , определенная¹ на L₁L₂ является дистрибутивной относительно декартова произведения логик, если существуют такие ₁^* и ₂^*, что (<x₁,y₁>,<x₂,y₂>,…,<x_n,y_n>) = <₁^*(x₁,x₂,…,x_n), ₂^*(y₁,y₂,…,y_n)>.

Определение 3.26. Диалоговым произведением L₁L₂ логик L₁ и L₂ назовём следующее отображение

 : (L₁,{₁,…,_n},T₁)(L₂,{y₁,…,y_m},T₂)  (L₁L₂,{₁^*,…,_k^*},T₁T₂), такое что {f₁^*,…,f_k^*} – базис для функций, дистрибутивных относительно L₁L₂.

Лемма 3.4. Для любой формулы Ф, составленной из связок, дистрибутивных относительно L₁L₂, существует эквивалентное представление <Ф₁,Ф₂>.

Доказательство весьма тривиально. Согласно определению диалогового произведения, любую k-арную связку _i^*, можно представить в виде _i^*(<x₁,y₁>,<x₂,y₂>,…,<x_k,y_k>) = <_i^’(x₁,x₂,…,x_k), _i^’’(y₁,y₂,…,y_k)>. Если все <x₁,y₁>,<x₂,y₂>,…,<x_k,y_k> - атомарны, то лемма выполняется для случая произвольной формулы с одной связкой.

Пусть лемма доказана для любой формулы, включающей не более n логических связок. Рассмотрим формулу Ф_n+1 включающую n+1 логическую связку. Пусть связка последнего уровня (последняя в порядке применения) это _j^*(₁, ₂,…, _l), где ₁,…, _l – формулы, включающие не более n логических связок, для них лемма выполняется по индуктивному допущению, следовательно, существует удовлетворяющие условию леммы ₁¹, ₂¹,…, ₁^l, ₂^l, такие что _i=<₁ⁱ,₂ⁱ>. Опять-таки, по определению диалогового произведения имеем: _j^*(<₁¹,₂¹>,<₁²,₂²>,…,<₁^l,₂^l>)=<_i^’(₁¹,₁²,…,₁^l), f_i^’’(₂¹,₂²,…,₂^l)>=<Ф₁,Ф₂>.

Следствие 3.2. Пусть формула Ф общезначима в логиках L₁ и L₂, тогда она общезначима и в логике L₁L₂ и наоборот.

Доказательство. Вытекает из леммы 3.4.

Таким образом, выводимость в L₁L₂ напрямую следует из выводимости в L₁ и L₂. Однако, достаточно ли этого? Будет ли система функций для L₁L₂ функционально полной?

Лемма 3.5. Любая система функций, дистрибутивных относительно декартова произведения нетривиальных логик L₁L₂, не полна функционально.

Доказательство. Выберем в логиках L₁ и L₂ по два значения (это можно сделать, так как логики нетривиальны), обозначим их T₁, F₁, T₂ и F₂ соответственно. Рассмотрим унарную функцию (<x,y>), определённую на L₁L₂, которая принимает значение <T₁,T₂> тогда и только тогда, когда x=T₁ и y=T₂, а во всех других случаях она принимает <F₁,F₂>.

Предположим противное, пусть существует такая система функций {₁,…, _k}, что  представима их композицией. Тогда, согласно лемме 3.4, существуют такие ₁^*,₂^*, что  (<x,y>) = <₁^*,₂^*>. Из определения  вытекает: ₁^*(T₁) = T₁, ₂^*(F₂) = F₂. Следовательно,  (<T₁,F₂>) = <T₁,F₁> С другой стороны, согласно определению, <T₁,F₂>) = <F₁,F₂>. Следовательно, допущение неверно и лемма доказана.

Итак, система функций диалогового произведения не является функционально полной: не хватает «смешивающих», не дистрибутивных относительно L₁L₂ операций, результат которых не может быть декомпозирован на базовые логики. Примером такой функции может служить операция возражения (¬₂ в L_min). Если в формулу входит такая операция, то, очевидно, ее вывод нельзя будет основывать на выводе в базовых логиках.

Определение 3.27. Выбранными истинностными значениями многозначной логики L назовем два произвольно выбранных значения T и F таких, что T  F.

Определение 3.28. Обобщенной операцией «и» назовем произвольную операцию  такую, что для любых X  L выполняется: T  X = X, F  X = F.

Определение 3.29. Обобщенной операцией «или» назовем произвольную операцию  такую, что для любых X  L выполняется: T  X = T, F  X = X.

Определение 3.30. Пусть существуют многомерные логики L₁ и L₂. Пусть на обеих логиках определены выбранные истинностные значения: на L₁  T₁ и F₁, на L₂  T₂ и F₂, соответственно. Операцией смешивания назовем такую операцию & : L₁L₂ L₁L₂, что

&(<x,y>) = <T₁,T₂> если x=T₁ и y=T₂,

<F₁,F₂> если xT₁ или yT₂ (в противном случае).

Теорема 3.2. Пусть существует система функций , которая является базисом диалогового произведения конечнозначных логик L₁L₂, тогда {&} будет являться функционально полной системой операций определенных на L₁L₂.

Доказательство. Докажем теорему сперва для унарных операций. Пусть существует произвольная функция (<x,y>), докажем что ее можно построить путем композиции функций из {&}. Рассмотрим произвольные значения x=x_i, y=y_j. При помощи композиции функций из  можно построить следующие дистрибутивные относительно декартова произведения логик функции:

₁ⁱ(<x,y>) = <T₁,F₂>, если x=x_i ₂ ^j(<x,y>) = <F₁,T₂>, если y=y_j

<F₁,F₂>, если xх_i <F₁,F₂>, если yy_j

Функции ₁ⁱ и ₂^j дистрибутивны относительно L₁L₂ так как представимы в виде ₁ⁱ(<x,y>) = <₁^i*(x),F₂> и ₂^j(<x,y>) = <F₁,₂^j*(y)>, где ₁^j*(x), ₂^j*(y) – характеристические функции соответствующих логик.

Выберем функции, являющиеся обобщенными операциями «и» и «или»:

<x₁,y₁><x₂,y₂> = <x₁x₂,y₁y₂>

<x₁,y₁><x₂,y₂> = <x₁x₂,y₁y₂>

Рассмотрим функцию _<xi,yj>(<x,y>) = ₁ⁱ(<x,y>)&₂^j(<x,y>). Эта функция принимает значение <T₁,T₂>, если x=x_i и y=y_j, и значение <F₁,F₂> во всех остальных случаях. Теперь построим

^*(x,y) = _{<x0,y0>L1xL2} (_<x0,y0>(<x,y>)<x₀,y₀>).

Функция ^*(x,y) совпадает с (x,y) при любых <x₀,y₀>  L₁ x L₂

Теорема доказана для унарных функций.

Пусть теперь теорема выполняется для n-арных функций, требуется доказать, что она справедлива для n+1-арных функций.

Рассмотрим произвольную функцию (x₁,x₂,…x_n,x_n+1). Согласно индуктивному допущению функция (x₁,x₂,…x_n,<x₀,y₀>) выразима при помощи композиции операций из {&} для любых <x₀,y₀>  L₁ x L₂, то есть существует формула F_<x0,y0>, такая что (x₁,x₂,…x_n, <x₀,y₀>) представима в виде F_<x0,y0>.

(x₁,x₂,…x_n,x_n+1) = _DL1L2 ( F_<x0,y0>_<x0,y0> ), где _<x0,y0> строится также как и в случае для унарных функций.

Теорема доказана.

Итак, добавление единственной смешивающей функции & к множеству функций, дистрибутивных относительно декартова произведения логик, позволяет строить произвольные логические функции на множестве L₁L₂.

Определение 3.31. Полным диалоговым произведением L₁L₂ логик L₁ и L₂ назовём следующее отображение

:(L₁,{₁,…, _n},T₁)(L₂,{₁,…,_m},T₂)  (L₁L₂,{₁^*,…,_k^*}{&},T₁T₂), такое что {₁^*,…,_k^*} – базис для функций, дистрибутивных относительно L₁L₂.

Как осуществить вывод в L₁L₂? Решить проблему построения вывода для полного диалогового произведения логик поможет метод комбинированного вывода на базе аналитических таблиц.

Для построения комбинированного вывода на полном диалоговом произведении логик необходимы: правила табличного вывода для базовых логик и специальные правила вывода для “&”. Также, с целью повышения удобства, возможно использование дополнительных правил вывода для других не дистрибутивных относительно произведения логик связок.

Процедура построения аналитической таблицы для формулы  в L₁  L₂.

1. Индексируем все k вхождений связки & в формулу . После чего, в  будут встречаться &₁, &₂,…&_k ровно по одному разу.

2. Представим формулу покоординатно в виде <₁,₂>. Для этого все дистрибутивные относительно  связки *(X₁,X₂,…,X_n) расписываем в виде <*₁(X₁,X₂,…,X_n), *₂(X₁,X₂,…,X_n)>, где *₁,*₂ – соответствующее дистрибутивное представление; а недистрибутивные связки &_i(X) просто заменяем <&_i(X), &_i(X)>.

3. Строим деревья вывода по методу аналитических таблиц для обеих частей получившегося кортежа, для всех вариантов означивания <D₁,D₂><₁,₂>. При этом для связок &_i применяем следующие правила (см. рис 3.6).

T&X		D&X		F&X
T&x		х		F& x	F& x	F& x *
T&*x				FX	DX	TX
TX

Рис 3.6. Специальные табличные правила для операции смешивания &; последнее правило включает ветви для всех D  F, D  T; х – означает, что ветвь замкнута.

Определение 3.32. Деревья вывода D₁₁ и D₂₂, считаются сопряженными, если проверяемая означенная формула есть <D₁,D₂>. Две ветви сопряженных деревьев считаются сопрягаемыми, если для каждого вхождения D¹_j&_i^* в одну из ветвей, не существует вхождения D²_j&_i в другую ветвь, такого что D¹_jD²_j

4. После построения деревьев вывода для всех возможных вариантов означивания выполняем следующую процедуру:

   1. Для всех открытых ветвей ищем сопрягаемые им открытые ветви.

   2. Если сопрягаемая ветвь не найдена, то помечаем ветвь как замкнутую.

   3. Проверяем наличие незамкнутых ветвей, если таковые присутствуют, то дерево вывода для данного варианта означивания выполнимо, в противном случае дерево вывода для данного варианта означивания замкнуто.

5. Если деревья вывода замкнуты для всех вариантов означивания, кроме одного, то формула всегда принимает значения в соответствии с этим вариантом.

Построенный метод позволяет осуществлять табличный вывод на любой конечнозначной логике, являющейся диалоговым произведением логик, вывод на которых уже известен. Пример такого вывода будет дан позже.

Теорема 3.3 Формула  может принимать значение <D₁,D₂> тогда и только тогда, когда в деревьях вывода D₁₁ и D₂₂ существуют сопрягаемые открытые ветви. ₁ и ₁ построены в соответствии с приведённым выше алгоритмом.

Доказательство. Необходимость. Пусть формула  может принимать значение <D₁,D₂>, т.е. существует такой сетап s₁, что s₁() = <D₁,D₂>.

Рассмотрим сетап s₁. В соответствии с методом аналитических таблиц для многозначной логики, этому сетапу должна соответствовать пара открытых ветвей деревьев D₁₁ и D₂₂. Допустим противное, они не сопрягаемы, т.е. существует вхождение D¹_j&_i^* в одну из ветвей, и существует вхождение D²_j&_i в другую ветвь, такое что D¹_jD²_j. Это означает что для j-того вхождения символа & интерпретация подформулы , к которой применяется этот символ, есть D²_j. В силу табличного правила для &, это невозможно, так как тогда не будет достигнуто требуемое значение D¹_j. Получили противоречие, следовательно необходимость доказана.

Достаточность. Рассмотрим пару открытых сопрягаемых ветвей D₁₁ и D₂₂. Выписав все атомарные литеры, входящие в эти ветви, получаем их частичную интерпретацию. Выберем произвольную интерпретацию оставшихся атомарных литер. Получим сетап s₁, s₁() = <D₁,D₂>. Теорема доказана.

Как уже было отмечено, несмотря на то, что операция & является достаточной для перехода к полной системе функций, использование также и других недистрибутивных относительно произведения логик операций может упростить построение и вывод формул в таких логиках. В связи с этим, в методе комбинированного табличного вывода возможно использование специальных правил и для других вариантов недистрибутивных связок. В качестве примера рассмотрим связку _&, представляющую собой обобщённое возражение. Пусть дано диалоговое произведение двух одинаковых логик LL. Операция _& определяется следующим образом: _&<x,y> = <y,x>. Пусть для определённости L = {T,F,I}, тогда специальные правила вывода для _& будут выглядеть так:

T&X				F&X				I&X
T&x	F&x	I&x		T&x	F&x	I&x		T&x	F&x	I&x
T&*x	T&*x	T&*x		F&*x	F&*x	F&*x		F&*x	F&*x	F&*x
TX	FX	IX		TX	FX	IX		TX	FX	IX

Рис 3.7. Специальные табличные правила для операции возражения _&.

В завершении параграфа, отметим еще один момент, связанный с операцией диалогового произведения логик. Несмотря на то, что эта операция является бинарной, она весьма легко обобщается на случай конечного числа аргументов, а именно: _n(L₁,L₂,…,L_n) = L₁L₂…L_n. Это позволяет рассматривать и описывать диалоги не только между двумя, но также и любым другим конечным числом агентов-участников.