- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Варианты заданий (трансцендентное уравнение)
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (продолжение)
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Варианты лабораторных работ
Номер варианта |
Уравнение |
Номер варианта |
Уравнение |
1 |
16 |
||
2 |
17 |
||
3 |
18 |
||
4 |
19 |
||
5 |
20 |
||
6 |
21 |
||
7 |
22 |
||
8 |
23 |
||
9 |
24 |
||
10 |
25 |
||
11 |
26 |
||
12 |
27 |
||
13 |
28 |
||
14 |
29 |
||
15 |
30 |
Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
Цель работы: изучить метод простой итерации, вычислить приближённо действительный корень для заданных уравнений методом простой итерации, вычисления проводить с точностью до 10-5.
Постановка задачи
-
Отделить корни для алгебраического уравнения, для трансцендентного уравнения найти отрезок, содержащий наименьший положительный действительный корень.
-
Привести уравнения к виду, пригодному для метода итераций.
-
Уточнить корень для алгебраического уравнения (ручной счет).
-
Решить задачу уточнения корней методом простой итерации в пакете МATHCAD.
-
Решить задачу уточнения корня методом простой итерации в среде MATLAB.
-
Сравнить все полученные результаты. Проверить правильность результатов с помощью встроенных функций пакетов.
Содержание отчета
-
Постановка задачи.
-
Теоретические сведения, включая условие сходимости и геометрическую интерпретацию метода итераций.
-
Приведение заданных уравнений к виду, пригодному для применения метода простой итерации, ручной счет (две-три итерации).
-
Вычисление последовательных приближений () до выполнения условия с помощью средств программирования пакетов MATHCAD, MATLAB.
-
Проверка с помощью встроенных функций пакетов.
Теоретические сведения
Пусть дано уравнение
, (3.1)
где – непрерывная функция. Требуется вычислить действительный корень уравнения, находящийся на отрезке . Приводим заданное уравнение к эквивалентному виду
, (3.2)
где – некоторая непрерывная на отрезке функция.
Выбираем произвольное и подставляем его в правую часть равенства (3.2):
.
Аналогично получаем итерационную последовательность:
;
;
…………..
.
Доказано, что если итерационная последовательность , , ,…, ,… сходится, то её пределом является корень уравнения (3.2), а значит, и корень уравнения (3.1), так как уравнения (3.1) и (3.2) равносильны.
Для сходимости итерационного процесса достаточно исходное уравнение привести к виду так, чтобы выполнялось условие
, (3.3)
где . При этом итерационная последовательность сходится независимо от выбора .
Итерации имеют геометрическую интерпретацию. Решение уравнения (3.2) является абсциссой точки пересечения прямой y = x и кривой y = φ(x). Геометрически видно, что если в окрестности решения выполняются неравенства 0 < φ’(x) ≤ М < 1, то последовательность {xK} монотонно сходится к , причем с той стороны, с которой расположено начальное приближение (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Приближение к корню с одной стороны
В случае −1 < −M ≤ φ’(x) < 0 последовательные приближения расположены поочередно с разных сторон от решения (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Приближение к корню с разных сторон
Уравнение можно преобразовать к виду разными способами, лишь бы функция удовлетворяла условию (3.3). Например, уравнение заменяем равносильным . В этом случае . Параметр выбираем так, чтобы при .
Пример 1. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций. Единственный действительный корень заданного уравнения находится на отрезке , так как , .
Приводим исходное уравнение к виду .В этом случае . Тогда , при .
Таким образом, достаточное условие сходимости итерационного процесса выполняется. Метод итераций применим для решения полученного уравнения. Выбираем произвольное , например, , и начинаем процесс метода итераций.
Пример 2. Привести уравнение к виду, пригодному для применения метода итераций.
Единственный корень заданного уравнения находится на отрезке . Рассмотренный в примере 1 способ в данном случае неприменим, так как при этом не удовлетворяется достаточное условие сходимости итерационного процесса. Заменяем исходное уравнение равносильным:
.
В этом случае
, .
Параметр находим из условия при , т.е. или при . Отсюда . Полагаем, например, . Исходное уравнение преобразуем к виду
,
причем при .
Выбираем произвольное . Пусть , вычисляем . Подставляя в правую часть равенства, получаем и т.д. Вычисления производим до тех пор, пока выполнится неравенство .
Скорость сходимости итерационного процесса определяется неравенством
,
где – точное решение уравнения.
Оценка погрешности метода простой итерации записывается в виде
,
где – заданная точность решения. В частности, при и величина будет приближенным значением корня с точностью до , т.е. .