- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Варианты заданий (трансцендентное уравнение)
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (продолжение)
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Постановка задачи
-
Отделить корни для заданного алгебраического уравнения . Для решения этой задачи использовать графический метод.
-
Решить задачу уточнения корня, используя комбинированный метод (ручной счет).
-
Решить задачу уточнения корней уравнения с заданной точностью , используя метод хорд, метод касательных, модифицированный метод касательных, метод секущих, комбинированный метод в пакете МATHCAD, записав соответствующие программные блоки.
-
Решить задачу уточнения корней предложенными методами с заданной точностью в среде MATLAB.
-
Проверить правильность результатов с помощью встроенных функций пакетов.
-
Свести все полученные результаты в таблицу, сделать выводы о скорости сходимости использованных методов, оценить погрешность результата, используя теорему о погрешности приближенного корня.
Содержание отчета
-
Постановка задачи.
-
Теоретические сведения: расчетные формулы и геометрическая интерпретация для каждого метода.
-
Три-четыре итерации комбинированного метода для заданного уравнения (ручной счет).
-
Результаты счета на ЭВМ.
-
Выводы.
Теоретические сведения
1. Метод линейной интерполяции (метод хорд). Пусть дано уравнение , где функция непрерывна на [a;b] и f(a)f(b)<0. Для определенности положим f(a)>0 и f(b)<0. Тогда, вместо того чтобы делить отрезок [a;b] пополам (как это делается в методе половинного деления), более естественно поделить его в отношении f(a)/f(b). Это дает приближенное значение корня x1=b+h1, где
Далее, применив этот прием к тому из отрезков ([a;x1] или [x1;b]), на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x2 и т.д.
Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) ( рис. 2.1).
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода хорд
В самом деле, уравнение хорды AB есть .
Отсюда, полагая x=x1 и y=0, получаем .
Для сходимости метода хорд необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
а) неподвижен тот конец хорды, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f”(x);
б) последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня ξ, где функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f”(x).
Расчетная формула метода в случае неподвижной точки a:
.
Если отрезок [a;b] достаточно мал, то погрешность метода определяется так:
.
Таким образом, в этом случае, как только будет выполняться условие , где ε – заданная предельная абсолютная погрешность, гарантировано, что .
2. Метод Ньютона (метод касательных). Пусть – корень уравнения – отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при .
Положим, где считаем малой величиной. Отсюда, применив формулу Тейлора, получим
0 = .
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу уточнения корня, можно найти следующее (по порядку) приближение корня:
( n = 0, 1, 2, . . .).
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y = f(x) касательной, проведённой в некоторой точке кривой (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Теорема. Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно вычислить методом Ньютона
единственный корень уравнения с любой степенью точности.
Применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки выбирается тот конец интервала , которому отвечает ордината того же знака, что и знак .
Условием завершения итерационного процесса является выполнение неравенства , где ε – заданная предельная абсолютная погрешность.
3. Модифицированный метод Ньютона. Если производная f’(x) мало изменяется на отрезке [a, b], то в расчетной формуле метода касательных можно положить ≈.
Отсюда для корня уравнения f(x) = 0 получаем последовательные приближения
( n = 0, 1, 2, . . .).
Геометрически этот способ означает, что заменяются касательные в точках Bn[xn, f(xn)] прямыми, параллельными касательной к кривой y = f(x), в её фиксированной точке B0[x0, f(x0)] (рис. 2.3). Эта формула весьма полезна, если сложна.
Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация модифицированного
метода Ньютона
4. Метод секущих. В алгоритме Ньютона требуется вычислить две функции для каждой итерации – и . Метод секущих требует только одного вычисления функции при одной итерации, и простой корень имеет порядок сходимости R1,618033989. Этот метод почти так же быстр, как и метод Ньютона, который имеет порядок сходимости R=2.
В методе секущих используется такая же формула, как и в методе хорд, но существуют различные логические решения относительно способа поиска каждого последующего члена. Необходимо около точки иметь две начальные точки и , как показано на рис. 2.4. Определим как абсциссу точки пересечения линии, проходящей через эти две точки, и оси 0X. Тогда на рис. 2.4 видно, что будет ближе к корню , чем или .
Рис. 2.4. Геометрическая интерпретация метода секущих
Уравнение, связывающее и , находим, рассматривая тангенс угла наклона
и .
Значения m в формуле равны тангенсу угла наклона секущей, которая проходит через два первых приближения к тангенсу угла наклона прямой, проходящей через точки и (x2; 0) соответственно. Приравняем правые части, решим относительно .
Общий член, определенный согласно двухточечной итерационной формуле:
Условие завершения процесса приближений такое же, как и в методе Ньютона.
5. Комбинированный метод. Метод, используемый для вычисления значения корня с заданной точностью, заключается в поочередном применении метода хорд и метода касательных. Концы отрезка, содержащего корень уравнения, обозначим и . Условимся обозначать через тот конец отрезка, на котором знаки функции и её второй производной совпадают. Через точки , проведём хорду. Точку пересечения хорды с осью обозначим через . В точке проведём касательную к кривой . Точку пересечения касательной с осью обозначим через . Итак, получен новый отрезок с концами и , содержащий корень уравнения (рис. 2.5). Аналогично получаем отрезок с концами , и т.д.
Рис. 2.5. Геометрическая интепретация комбинированного метода
Расчётные формулы комбинированного метода для случая, приведенного на рис. 2.5, имеют следующий вид:
, ;
, ,
где .
Если корень уравнения требуется вычислить с точностью до , то процесс вычисления корня можно прекращать в тот момент, когда . В качестве ответа взять среднее арифметическое последних полученных значений и , т.е. .
Погрешность численного решения уравнения. Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой
,
Приведем еще формулу, позволяющую оценивать абсолютную погрешность приближенного значения , если известны два последовательных приближения и . Будем предполагать, что производная непрерывна на отрезке , содержащем все приближения, и сохраняет постоянный знак, причем
.
Примем для определенности, что последовательные приближения точного корня вычисляются по формуле
(n = 1,2,…),
где конец является неподвижным. Отсюда будем иметь
.
Применив теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим
,
где и . Следовательно
(2.1)
Поскольку сохраняет постоянный знак на отрезке , причем и , то, очевидно, имеем
Из выражения (2.1) выводим формулу
, (2.2)
где за могут быть взяты соответственно наименьшее и наибольшее значения модуля производной на отрезке . Если отрезок столь узок, что имеет место неравенство то из формулы (2.2) получаем .
Таким образом, в этом случае, как только будет выполняться условие
,
где – заданная предельная абсолютная погрешность, гарантировано, что .