- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Варианты заданий (трансцендентное уравнение)
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (продолжение)
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Примеры выполнения заданий
-
Уточнение корня комбинированным методом.
Вычислить с точностью до действительный корень уравнения .
Рассмотрим . На отрезке содержится корень заданного уравнения, так как на концах этого отрезка функция имеет разные знаки: , . Производная при всех , поэтому уравнение имеет единственный действительный корень.
Таким образом, на отрезке находится единственный действительный корень уравнения.
Вторая производная при , поэтому через обозначаем конец отрезка , т.е. , . Дальнейшие вычисления оформляем в виде таблицы:
при |
|||||||||
№ п/п |
|||||||||
0 |
-1 |
-2 |
-1 |
4 |
-6 |
-10 |
15 |
0,4 |
-0,4 |
1 |
-1,4 |
-1,6 |
--0,2 |
1,056 |
-0,896 |
-0,932 |
10,68 |
0,1082 |
-0,0839 |
2 |
-1,5082 |
-1,5161 |
-0,0079 |
-0,0447 |
-0,0331 |
-0,0778 |
9,8956 |
0,00455 |
-0,0033 |
3 |
-1,51273 |
-1,51275 |
-0,00001 |
|
|
|
|
|
|
Ответ: .
Пример взят из пособия С.В. Михайленко «Прикладная математика»[4].
-
Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
Функция hord уточняет корень уравнения на интервале [a,b] с точностью до .
Входные параметры: значения концов отрезка изоляции корня, точность решения.
Выходные параметры функции: два последних приближения для корня, количество итераций для выполнения условия точности.
В программном блоке используются: f(x) – функция исходного уравнения ; f2(x) – функция второй производной для f(x). Обе функции должны быть заданы до программного блока как функции пользователя.
Неподвижная точка метода хорд определяется по следующему правилу: неподвижен тот конец, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f”(x) и ее значение заносится в fix.
-
Пример реализации модифицированного метода
касательных в пакете MATLAB для решения алгебраического уравнения.
function res=p_modif_kasat(f,A,B,eps);
% polyval(f,A) – вычисление значения полинома f в точке A
% polyder(f) – вычисление первой производной для полинома
% выбор точки проведения касательной
if polyval(f,A)*polyval(polyder(polyder(f)),A)>0
x=A
else
x=B;
end;
if x==A
prev_x=B
else
prev_x=A;
end;
fix=x;
% цикл уточнения корня
while abs(prev_x-x)>eps
prev_x=x;
x=x-polyval(f,x)/polyval(polyder(f),fix);
end
res=x;
Вызов функции p_modif_kasat в командном режиме. Полином необходимо задать набором соответствующих коэффициентов
>> res=p_modif_kasat([1,5,-3],0,2,0.001)
res =
0.5416