Пример выполнения заданий

1. Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной в табл. 6.1.

Таблица 6.1

	1.1	1.5	2.0	2.6
	0.0953	0.4055	0.6931	0.9555

Используя полученный интерполяционный многочлен, вычислить приближённо значение в точке .

Для построения интерполяционного многочлена используем формулу (6.3) при . В результате получаем многочлен третьей степени , который в узлах интерполяции совпадает с табличными значениями исходной функции:

.

Проверяем условия :

1) .

Подставляем в полученный многочлен:

;

2) :

;

3) :

;

4) :

.

Вычисляем ,.

2. Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.

Построение дробно-рациональных функций Лагранжа с использованием программного блока:

Полином Лагранжа можно записать так:

_{Проверка основного условия интерполяции:}

_{График полученных результатов может быть таким:}

Полином Лагранжа можно записать и по-другому:

,

где vx, vy – векторы, заданные табличные значения.

3. Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.

function yy=lagrange(x,y,xx)

% число узлов интерполяции

N=length(x);

% число узлов, в которых высчитывается значение интерполяционного полинома

N_res=length(xx);

% создание нулевого массива значений интерполяционного полинома

yy=zeros(size(xx));

for k=1:N

% вычисление функции Лагранжа Li(X)

Li=ones(size(xx));

for j=[1:k-1, k+1:N]

for i=[1:N_res]

Li(i)=Li(i).*(xx(i)-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

% накопление суммы

yy = yy + y(k)*Li;

yy

end

4. Пример использования узлов Чебышева.

Заданная функция f(x) табулируется на интервале [-1,1] двумя способами: с шагом 0.2 и в узлах Чебышева. На двух полученных сетках строятся полиномы Лагранжа. Результаты визуализируются с помощью графиков. На графике, приведенном ниже, видно значительное отклонение полинома Лагранжа, построенного на сетке с шагом 0.2, от исходной функции и более приемлемое приближение функции для полинома, построенного на узлах Чебышева:

исходная функция:

Узлы Чебышева:

5. Пример вычисления погрешности интерполирования.

Анализ погрешности замены исходной функции интерполяционным многочленом для таблиц с постоянным шагом:

Варианты лабораторных работ

Номер варианта	Исходные данные
1		x f(x)	1,4 0,3365	1,8 0.5878	2,3 0.8329	2,9 1.0647
2		x f(x)	2,0 0,6931	2,5 0.9163	2,8 1.029б	3,3 1,1939
3		x f(x)	4,0 1,3863	4,5 1,5041	4,9 1.5892	5,4 1.6864
4		x f(x)	1,2 0,1823	1,6 0,4700	2,1 0.7419	2,6 1,6864
5		x f(x)	2,2 0,7885	2,7 0,9933	3,1 1.1314	3,6 1,2809