- •Требования к выполнению лабораторних работ
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Расчет в пакете mathcad
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Уточнение корня комбинированным методом.
- •Пример вычислений по методу хорд в пакете mathcad.
- •Пример реализации модифицированного метода
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 3 решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом простой итерации
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример решения трансцендентного уравнения в пакете mathcad.
- •Пример расчета в пакете matlab.
- •Варианты заданий (трансцендентное уравнение)
- •Встроенные функции пакетов mathcad, matlab для приближенного решения уравнений Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Примеры выполнения заданий
- •Пример вычислений в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода Гаусса для решения слау в пакете matlab.
- •Варианты лабораторных работ
- •Лабораторная работа № 5 итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Решение системы методом простой итерации.
- •Пример расчета в пакете mathcad.
- •Программная реализация метода простой итерации для решения слау в пакете matlab.
- •Встроенные функции пакетов mathcad и matlab
- •Для приближенного решения систем линейных
- •Алгебраических уравнений
- •Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами Лабораторная работа № 6 интерполяционный многочлен лагранжа
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.
- •Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.
- •Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.
- •Пример использования узлов Чебышева.
- •Пример вычисления погрешности интерполирования.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (продолжение)
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Лабораторная работа № 7 интерполирование для таблиц с постоянным шагом. Численное дифференцирование. Обратное интерполирование
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи.
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение первой формулы Ньютона в пакете mathcad.
- •Пример программ для вычислений по первой формуле Ньютона в matlab.
- •Обратное интерполирование с помощью полинома Ньютона в пакете mathcad.
- •Решение задачи обратного интерполирования
- •Варианты заданий
- •Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
- •Постановка задачи
- •Содержание отчета
- •Постановка задачи
- •Теоретические сведения.
- •Теоретические сведения
- •Пример выполнения заданий
- •Построение кубического сплайна в пакете matlab.
- •Построение кубического сплайна в пакете mathcad.
- •Варианты лабораторных работ
- •Варианты лабораторных работ (окончание)
- •Встроенные функции интерполирования Пакет mathcad
- •Пакет matlab
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Тема 1. Приближенное решение алгебраических
- •Тема 2. Приближенное решение систем линейных
- •Тема 3. Интерполяция и приближение полиномами……50
Варианты заданий
Номер варианта |
Функция |
Точки интерполяции |
|
Номер варианта |
Функция |
Точки интерполяции |
1 |
А |
1 |
16 |
А |
9 |
|
2 |
Б |
2 |
17 |
Г |
6 |
|
3 |
В |
1 |
18 |
Б |
4 |
|
4 |
А |
2 |
19 |
Д |
5 |
|
5 |
Г |
7 |
20 |
Г |
10 |
|
6 |
В |
2 |
21 |
А |
8 |
|
7 |
Б |
5 |
22 |
Д |
2 |
|
8 |
Д |
3 |
23 |
Б |
7 |
|
9 |
А |
3 |
24 |
В |
10 |
|
10 |
Г |
1 |
25 |
Г |
5 |
|
11 |
В |
6 |
26 |
Б |
8 |
|
12 |
Д |
4 |
27 |
А |
5 |
|
13 |
Б |
3 |
28 |
В |
4 |
|
14 |
В |
9 |
29 |
Г |
3 |
|
15 |
Д |
7 |
30 |
Д |
10 |
Точки интерполяции
№ п/п |
|
|
|
|
|
№ п/п |
|
|
|
|
1 |
0,01 |
0,52 |
0,89 |
0,02 |
|
6 |
0,04 |
0,54 |
0,89 |
0,86 |
2 |
0,04 |
0,46 |
0,87 |
0,88 |
|
7 |
0,03 |
0,43 |
0,86 |
0,02 |
3 |
0,05 |
0,41 |
0,86 |
0,03 |
|
8 |
0,02 |
0,43 |
0,87 |
0,86 |
4 |
0,02 |
0,32 |
0,89 |
0,87 |
|
9 |
0,03 |
0,42 |
0,88 |
0,02 |
5 |
0,01 |
0,45 |
0,88 |
0,03 |
|
10 |
0,05 |
0,43 |
0,87 |
0,89 |
Уравнения для решения задачи нахождения корня методом обратного интерполирования взять из лабораторной работы № 2.
Лабораторная работа № 8 интерполирование кубическими сплайнами
Цель работы: научиться решать задачу построения кубического сплайна, для функции, заданной таблично, построить кусочно-полиномиальный сплайн.
Постановка задачи
-
Построить кубический интерполяционный сплайн для заданной системы точек в среде пакетов MATLAB , MATHCAD.
-
Графически визуализировать полученные результаты.
-
Проверить правильность построения с помощью встроенных функций пакетов MATLAB, MATHCAD.
Содержание отчета
-
Постановка задачи
-
Таблица значений функции.
-
Теоретические сведения.
-
Листинги счета на ЭВМ.
-
Выводы.
Теоретические сведения
Интерполяционный полином не всегда дает хороший результат. Например, аппроксимация резонансных кривых колебательных систем дает большую погрешность как на концах кривых (крыльях), так и между узлами. При увеличении степени интерполяционного полинома погрешность только возрастает (явление волнистости). Широкое распространение для решения задачи интерполяции получает аппарат сплайнов. Рассмотрим интерполяцию кубическими сплайнами. В отличии от интерполяции полиномом на каждом участке строится отдельный сплайн.
Пусть на отрезке [a, b] имеется таблично заданая функция a=x0<x1<…<xn =b. Шаг таблицы может быть непостоянным.
Постановка задачи: На отрезке [a, b] необходимо найти функцию g(x), которая удовлетворяет следующим требованиям:
1. Сплайн g(x) классу c2(a,b), т.е. непрерывны на отрезке [a,b], график g(x) не имеет острых углов (т.к. непрерывна), радиус кривизны определен в каждой точке.
2. На каждом участке g(x) является кубическим полиномом III степени, т.е. ,
где ai(k) – коэффициенты сплайна, которые определимы из дополнительных условий: – номер сплайна.
3. выполняется основное условие интерполяции:
4. вторая производная g''(x) удовлетворяет граничным условиям. В общем случае эти условия зависят от конкретной задачи. Довольно часто используется условие свободных концов сплайнов, а именно g''(a) = g''(b) = 0.
В результате построения с соблюдением всех условий будем иметь
Для определения неизвестных m0…mn используем непрерывность В результате получим систему для определения mk с n-1 уравнением и n+1 неизвестными. Её нужно доопределить для однозначного решения. Дополняем систему граничными условиями, например условиями свободных концов сплайна m0 = mn = 0.
Получаем систему n-1 уравнения с n-1 неизвестными:
В матричном виде систему можно записать следующим образом:
,
где
|
|
|
Матрица А – неособенная матрица, система для определения m имеет единственное решение, следовательно, сплайн-функция g(x) однозначно восстанавливается, т.е. задача о нахождении кусочно-кубической функции g(x) имеет единственное решение. Решение системы может быть найдено с помощью метода прогонки (частный случай метода Гаусса) или каким-либо другим способом.