Лекция 4 Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Арифметика в различных системах счисления.

Для перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую необходимо воспользоваться следующим правилом.

Правило: Последовательное деление числа N и его частных на q даёт в виде остатков деления p- чные записи q- ичных цифр (начиная с младшей), нужных для изображения числа N. Деление производят до тех пор, пока не получится частное, меньшее чем q. Это последнее частное даёт нам старшую q- ичную цифру числа N. Деление выполняют в исходной системе счисления.

Пример: Дано десятичное число 191. Требуется перевести его двоичную систему счисления. Итак: N=191, p=10, q=2.

Пользуясь правилом, получаем:

19	1	2
18		9	5	2
1	1	8		4	7	2
1	0	1	5	4		2	3	2
	1	1	4		7	2		1	1	2
			1		6		3	1	0	5	2
					1		2		1	4	2	2
							1			1	2	1
											0

Таким образом, двоичная запись десятичного числа 191 имеет вид: 10111111

Предположим, это же число требуется перевести в восьмеричную систему, т.е. q=8. Тогда:

19	1	8
16		2	3	8
3	1	1	6	2
2	4		7
	7

Таким образом, восьмеричная запись десятичного числа 191 имеет вид: 277.

Для перевода правильных дробей из одной позиционной системы счисления в другую необходимо воспользоваться следующим правилом.

Правило: Путём последовательного умножения числа D и дробных частей получающихся произведений на q получим в виде целых частей этих произведений р-ичные записи q-ичных цифр, нужных для изображения правильной дроби D. Умножение выполняют в исходной системе счисления.

Пример. Дана десятичная дробь: 0,6875. Требуется найти её двоичную запись.

Итак, имеем: D=0,6875; р=10; q=2. Пользуясь правилом, получаем:

		0	,	6	8	7	5
							2
		1	,	3	7	5	0
							2
		0	,	7	5	0	0
							2
		1	,	5	0	0	0
							2
		1	,	0	0	0	0

Таким образом, двоичная запись десятичного числа 191 имеет вид: 0,1011.

Переведём ту же десятичную дробь 0,6875 в восьмеричную:

		0	,	6	8	7	5
Старшая цифра							8
		5	,	5	0	0	0
							8
		4	,	0	0	0	0

Таким образом, двоичная запись десятичного числа 0,6875 имеет вид: 0,54.

При кодировании целых чисел со знаком один разряд (старший) отводится под знак числа. При этом знак «+» кодируется нулём а знак «-» кодируется единицей.

Для ускорения операций алгебраического сложения чисел с разными знаками отрицательные числа записываются в специальном дополнительном коде:

1. во всех разрядах, кроме знакового, единицы заменяются нулями, а нули – единицами;

2. затем приписывается единица в младший разряд.

Такое кодирование позволяет обойтись без операции вычитание.

Знак «-» 				1	0	0	0	0	1	0	1	 число «-5» (прямой код)
				1	1	1	1	1	0	1	0	 число «-5» (обратный код)
											1	 приписывается единица
				1	1	1	1	1	0	1	1	 число «-5» (дополнительный код)
				0	0	0	0	0	1	1	1	 число «+7» (прямой код)
				0	0	0	0	0	0	1	0	 результат: число «+2»
				1	1	1	1	1	1	1		 перенос в старший разряд