Под углом 57 к горизонту со скоростью 20 м/с
Моделирование остывания нагретых тел. При небольшой разнице температуры нагретого тела Т и окружающей среды Тs скорость передачи тепла пропорциональна разнице температур, т.е.
.
где r – «коэффициент остывания».
Найдем значение «коэффициента остывания» для экспериментальных данных приведенных в табл. 3.1 и полученных при остывании чашки кофе при температуре окружающего воздуха Тs = 22 С. Коэффициент будем определять методом наименьших квадратов (МНК). Этот метод позволяет для некоторого набора табличных данных подобрать формулу, выражающую данную зависимость аналитически. Находим функцию заданного вида
,
которая в точках х1, х2, …, х принимает значения как можно более близкие к соответствующим значениям табличной функции, т.е в евклидовом пространстве величина
была наименьшей и, следовательно, сумма квадратов
.
Таблица 3.1
Изменение температуры при остывании тела
|
Время, мин |
Т, С |
Время, мин |
Т, С |
Время, мин |
Т, С |
Время, мин |
Т, С |
|
0 |
83,0 |
4 |
71,1 |
8 |
64,7 |
12 |
59,9 |
|
1 |
77,7 |
5 |
69 |
9 |
63,4 |
13 |
58,7 |
|
2 |
75,1 |
6 |
4 |
10 |
62,1 |
14 |
57,8 |
|
3 |
73,0 |
7 |
67,8 |
11 |
61,0 |
15 |
56,6 |
Рассмотрим метод нахождения приближающей функции на примере функции, зависящей от трех параметров:
.
Обозначим сумму квадратов разностей как
,
которая является функцией трех переменных. Из условий экстремума:
,
,
получаем систему уравнений
;
;
.
Решив
эту систему, получаем конкретный вид
функции
.
Рассмотрим систему уравнений при использовании линейной аппроксимации
.
Частные
производные равны
,
.
Составим систему
,
.
Раскрыв скобки и разделив каждое уравнение на n, получим
,
.
Введем обозначения:
,
,
,
.
Следовательно, система уравнений примет вид
,
или в матричной форме
.
Следовательно,
.
Вычислив значения параметров а, b, получим конкретный вид аппроксимирующей функции.
Для аппроксимации экспериментальных данных, представленных в табл. 3.1, используем экспоненциальную функцию, т.к. аналитическое решение задачи на определение температуры тела при теплообмене с постоянными коэффициентами теплоотдачи в среде с постоянной температурой имеет вид экспоненты. Представим
,
где а, b – коэффициенты, которые необходимо определить по МНК. Введем вспомогательную функцию
,
которая линейна относительно неизвестных коэффициентов а, b.
Вычисление можно проводить в Excel (с помощью команды ЛИНЕЙН), MathCAD, MATLAB. Например, в пакете MATLAB аппроксимацию данных, приведенных в табл. 3.1, можно провести следующим способом:
>> x = 0:15; % задание моментов времени
>> y = [83 77.7 75.1 73.0 71.1 69.4 67.8 66.4 64.7 63.4 62.1 61.0 59.9 58.7 57.8 56.6]; % задание значений температуры
>> N = length(x);
>> y1 = log(y);
% вычисление элементов матрицы
>> Mx = sum(x)/N;
>> My = sum(y1)/N;
>> Mx2 = sum(x.^2)/N;
>> Mxy = x*y1/N;
>> M = [Mx2 Mx; Mx 1]; % вычисление матрицы системы
>> d = [Mxy My]; % вычисление вектор-столбца свободных членов системы
>> s = M/d; % решение системы линейных уравнений
>> t = 0:0.1:x(N); % задание дискретной переменной для вычисления
% значений аппроксимирующей функции
>> T = exp(s(1)*t+s(2)); % вычисление значений
% аппроксимирующей функции
>> plot(x,y,’o’t,T,’MarkerSize’,2) % построение графика
В
результате работы программы определены
значения параметров а = -0,0241 и b
= 4,3749. Полученная функция
представлена на рис. 3.2 (аппроксимирующая
функция изображена сплошной линией, а
табличные значения – кружочками).
Рис. 3.2. Процесс остывания чашки кофе