2.2. Типовые элементы

2.2.1. Способы математического описания звеньев и систем.

Существуют следующие формы математического опи­сания динамических свойств линейных звеньев и систем: дифференциальные уравнения; передаточные функции; вре­менные характеристики; частотные характеристики. Каждая из указанных форм для одного и того же звена с помощью математических операций может быть преобразована в другую форму.

Дифференциальные уравнения. Математическая связь между выходной и входной величинами и их производными по времени для большинства тепловых объектов и про­мышленных регуляторов составляется на основе общих за­конов физики (термодинамики, гидравлики, электротехни­ки) и приближенно может быть описана с помощью типовых элементов, процессы в которых можно описать линей­ными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффи­циентами.

Передаточные функции. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать в следующем виде:

,

где р – символ дифференцирования, p = d/dt.

Умножение переменной y(t) на р будет означать ее диф­ференцирование, а деление – операцию, обратную диффе­ренцированию – интегрирование.

Это уравнение может быть переписано в следующем виде:

.

Аналогично могут быть записаны дифференциальные уравнения более высокого порядка

,

где D(p) и В(р) – многочлены от оператора р.

Такая форма записи уравнений носит название опера­торной и обычно используется при составлении уравнений систем или звеньев. Уравнения подобного типа легче решать как алге­браические относительно оператора р, но для этого необходимо пре­образовать функции переменных y(t) и x(t) в функции другой переменной – p, т. е. в Y(р) и X(р). Это преобразование можно, в частности, осуществить с помощью инте­грала Лапласа – Карсона:

.

После интегрирования и подстановки пределов 0 и ∞ вместо t получится выражение, не содержащее t и завися­щее от р, т. е. Y(p), в котором р рассматривается уже не как символ дифференцирования, а как аргумент.

Функция y(t), которая подвергается преобразованию, называется оригиналом, а функция Y(p) = L[y(t)], получаемая в ре­зультате преобразования, ее изображением.

Изображение производной dy(t)/dt получается умножением на р изображения функции y(t):

.

Изображение интеграла получается делением изображения y(t) на р:

.

С помощью инте­грала Лапласа – Карсона уравнение вида

можно преобразовать в уравнение

,

где р – символ дифференцирования; D(p) и В(р) – мно­гочлены от р (операторные многочлены); Y(p) и Х(р) – изображения регулируемой (выходной) величины и возму­щающего воздействия (входного).

Так как , то отношение изображения выходной величины к изобра­жению входной величины – величина постоянная для звена (группы звеньев, системы) и называется передаточной функ­цией (оператором).

Временные характеристики. Временные характеристики бывают переходными и импульсными. Переходной характери­стикой (кривой разгона) звена (системы) называют зависимость изменения выходной величины от времени – y(t) при приложении ко входу звена при нулевых на­чальных условиях однократного ступенчатого возмущающего воздействия – x(t) = x₁. Переходная характеристика звена может быть получена экспериментально. Составление дифференциальных уравнений сложных систем – процесс трудоемкий, требующий высокой квали­фикации специалиста, в то время как опыты по определе­нию переходных характеристик сравнительно просты. Кро­ме того, существуют математические и графоаналитические методы определения дифференциального уравнения звена и его передаточной функции по экспериментальной кривой разгона.

Рассмотрим пример. Переходную характеристику можно определить аналитически, ре­шив дифференциальное уравнение звена. Решением линейного дифференциального уравнения 1-го порядка для x(t) = x₁ будет экспонента вида

,

где p₁ – корень урав­нения и, следовательно, .

График переходной характеристики изображен на рис. 2.3. В установившемся режиме (при t→∞) . Коэффициент усиления звена равен отношению установившегося значения выходной величины к значению ступенчатого возмущения.

Рис. 2.3. Переходная характеристика	Рис. 2.4. Импульсная характеристика

Уравнение экспоненты при единичном возмущении имеет вид: , где – постоянная времени экспоненты. На рис. 2.3 она соответствует отрезку на линии установившегося значения выходной величины, отсекаемому касательной 00'. Постоян­ная времени звена Т численно равна времени достижения регулируемой величиной y(t) при условии ее изменения с постоянной скоростью, равной скорости изменения в момент нане­сения единичного ступенчатого возмущения установившегося значения .

Следовательно, , а передаточная функция имеет вид .

Таким образом, располагая опытной кривой разгона и определяя по ней величины k и Т, можно получить выражение передаточной функции для звена, описываемого дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Импульсной характеристикой звена (системы) называют зависимость изменения выходной величины от времени при приложении к входу звена возмущающего воздействия импульсной формы. График импульсной характеристики приве­ден на рис. 2.4.

Частотные характеристики. Частотные характеристики определяют путем приложе­ния к входу звена возмущающего воздействия синусо­идальной (гармонической) формы, например, перемеще­нием регулирующего органа исследуемого объекта по закону

,

где |x| – амплитуда колебаний входного сигнала; ω = 2π/Т – его угловая частота, имеющая размерность рад/с или рад/мин; Т – период колебаний, с или мин.

При установившихся колебаниях x(t), если звено или исследуемый объект является линейным, сигнал на его вы­ходе также изменяется по гармоническому закону с той же частотой ω, но его амплитуда и сдвиг по фазе могут из­меняться в зависимости от динамических свойств звена.

Зависимость отношения амплитудного сигнала к ампли­туде входного (измеренных при одной и той же частоте) от частоты колебаний входного гармонического сигнала на­зывается амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ): . Зависимость сдвига фаз между выходным и входным сигналами (измеренными при одной и той же частоте) от частоты колебаний входного гармонического сигнала на­зывается фазочастотной характеристикой (ФЧХ): . Важную роль при изуче­нии процессов регулирования играет комплексная частотная характеристика (КЧХ)

,

где – вещественная часть вектора КЧХ, ; – его мнимая часть, . Длина вектора или его модуль , аргумент, или угол поворота вокруг начала координат, равен .

Рис. 2.5. Комплексная частотная характеристика парового котла по давлению перегретого пара

Запись КЧХ в полярных координатах имеет вид . Третья форма записи КЧХ имеет вид .

Векторное изображение ком­плексного числа и порядок построения КЧХ на комплекс­ной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ иллюстрируются на рис. 2.5. КЧХ может быть определена из передаточной функции звена W(p), заменой р на i.

Если , то .