5.4.2. Разностные схемы. Метод Рунге – Кутта.

Наиболее часто используются методы Эйлера, Адамса, Рунге – Кутта четвертого порядка.

Методом Рунге-Кутта можно строить схемы различного порядка точности. Например, схема Рунге-Кутта первого порядка точности (обычно называется методом Эйлера) – это схема ломаных. Наиболее часто применяют схемы Рунге-Кутта второго или четвертого порядка точности.

Схемы Рунге-Кутта имеют ряд важных достоинств:

• все они имеют хорошую точность;

• все схемы допускают расчет переменным шагом (значит, нетрудно уменьшить шаг там, где функция быстро меняется, и увеличить его в обратном случае);

• для начала расчета достаточно выбрать сетку и задать значение ; далее вычисления идут по одним и тем же формулам.

Метод Рунге – Кутта благодаря малым ошибкам аппроксимации и простоте является наиболее распространенным. Наиболее употребительны схемы четвертого порядка точности, образующие семейство четырехчленных схем, которые записаны в большинстве стандартных программ ЭВМ. Формулы большего порядка точности практически не употребляются. Пятичленные формулы имеют всего лишь четвертый порядок точности; шестичленные имеют шестой порядок точности, но слишком громоздки. Кроме того, высокий порядок реализуется лишь при наличии у правой части непрерывных производных соответствующего порядка.

Метод Эйлера. Пусть на отрезке [a; b] выбрано разбиение точками x_j с постоянным шагом h = (b – a )/n, т.е. x_j = a + jh.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y^/ = f(x, y) с начальным условием y(a) = u₀ и составим для него разностную схему

.

Тогда , j = 1, 2, ..., N. Используя начальное условие, последовательно вычисляем значения неизвестной функции y в узлах x_j.

Геометрически замена производной на правую разность означает переход из точки с координатой x_j в точку, принадлежащую другой кривой из семейства решений данного дифференциального уравнения. Таким образом, с по мере удаления от точки х₀ погрешность решения увеличивается. Максимальное значения погрешность метода Эйлера _k достигает при k = N и имеет порядок h:

,

где ; ; U = U(x) – точное решение задачи Коши ; .

Рис. 5.4. Схема метода Эйлера	Рис. 5.5. Схема усовершенствованного метода Эйлера

Метод Эйлера приведенный на рис. 5.4 является методом первого порядка точности. Для увеличения порядка точности можно использовать следующие методы:

1. Предиктор–корректор (метод 2-го порядка точности). В каждой точке находится сначала первое приближение по методу Эйлера

,

а затем оно уточняется:

.

2. Усовершенствованный метод Эйлера (2-го порядка точности) приведен на рис. 5.5. Вычисляется приближенное значение в средней точке отрезка [x_j; x_j+1]

,

а затем находится значение

.

3. Метод Рунге–Кутта (4-го порядка точности). Значения функции у в узлах находятся по следующей формуле:

,

где ; ; ; .

Метод Адамса. Рассмотрим метод Адамса решения дифференциального уравнения первого порядка. Пусть имеется задача Коши:

u^/ = f(x, u); u(a) = u₀.

Выберем узлы разбиения x₀, x₁, ..., x_N с постоянным шагом h и предположим, что найдены приближенные значения решения уравнения y₀, y₁, ..., y_N в этих точках. Обозначим через f_j = f(x_j; y_j). Для функции f можно построить полином Лагранжа: .

Если U – точное решение, то на каждом отрезке [x_j; x_j+1] оно является решением интегрального уравнения . Следовательно, можно положить . Таким образом,

,

где  _ji не зависят от y и определяются только узлами разбиения.

На практике значения в начальных первых точках вычисляют с помощью метода Эйлера, а затем переходят к методу Адамса.