Дифференциальные уравнения диффузионного пограничного слоя

В принятой системе обозначений стационарная система дифференциальных уравнений диффузионного пограничного слоя записывается в следующем виде:

,

,

,

,

.

Первое уравнение описывает диффузию j-компонента смеси. В этом уравнении _j – коэффициент диффузии j-компонента в смеси. Второе уравнение – уравнение диффузии химического элемента . Третье уравнение – уравнение энергии, записанное через энтальпию, четвертое уравнение – уравнение неразрывности, а уравнение пять – уравнение движения.

При необходимости в эту систему уравнений вносятсяь соответствующие упрощения. Например, при диффузии инертного вещества уравнение диффузии принимает вид

.

Проанализируем простую химическую реакцию:

1 кг топлива + r кг окислителя  (1 + r) кг продукта.

Предположим, что коэффициенты диффузии топлива и окислителя равны

_mop = _ok = .

Уравнение диффузии для топлива и для окислителя запишем в виде:

,

.

Применим стехиометрическое соотношение

.

После преобразований это уравнение принимает вид:

.

Принимая коэффициенты диффузии равными, мы не вносим новых допущений, так как вывод закона Фика, на котором основан вывод уравнений, базируется на том, что бинарные коэффициенты диффузии компонентов смеси одинаковы.

Моделирование теплоотдачи диффузией.

Перенос теплоты и перенос массы подчиняются аналогичным зависимостям и описываются аналогичными дифференциальными уравнениями, поэтому наряду с числом Нуссельта, характеризующим теплообмен, можно ввести диффузионное число Нуссельта (критерий Шервуда). Число Нуссельта для теплообмена в общем случае можно представить в виде функции чисел Рейнольдса и Прандтля, а число Нуссельта для массообмена – в виде функции чисел Рейнольдса и Шмидта. Если допустить, что поля скоростей, температур и концентраций подобны, то как это следует из тройной аналогии, при геометрическом подобии (необходимое условие) имеем

; .

Для турбулентного тепломассообмена выполняются следующие закономерности:

,

.

Отсюда следует, что при одинаковых масштабах моделей можно определить коэффициенты теплоотдачи и массообмена:

.

Эта зависимость лежит в основе методики исследования теплоотдачи с помощью так называемой "нафталиновой" аналогии. Методика предусматривает использование в качестве экспериментального участка покрытый слоем нафталина образец, обдуваемый потоком воздуха. Взаимодействие воздуха с нафталином выражается в том, что нафталин "уносится" в поверхности. Причем унос нафталина наиболее интенсивен в тех местах, где теплоотдача в случае теплообмена также наиболее интенсивна. Измеряя толщину слоя нафталина после эксперимента можно пересчитать полученные данные и получить поле коэффициента теплоотдачи.

3.9. Математическая модель парового котла

3.9.1. Математическая модель динамических процессов.

Условия работы парово­го котла никогда не бывают в полной мере постоянными. Давление перегре­того пара, разрежение в топочной камере, теплота сгорания топлива и другие параметры изменяются. Если эти изменения незначительны и имеют случай­ный характер, то считают, что параметры вообще не меняются во времени, постоянны. Процесс работы, при котором параметры можно считать посто­янными, называется статическим, или установившимся или стационарным. Динамические процессы характеризуются детерминированными, не слу­чайными, изменениями.

Пример типичного динамического процесса – при увеличении мощности электрического генератора увеличивается расход пара на турбину, и возникает небаланс между производством пара и его потребле­нием. Это приводит к падению давления в котле и к изменению других пара­метров. Если не управлять процессом, то в конечном итоге наступит аварийная ситуация. (В барабанном котле будут нарушены условия нормальной эксплуатации опускных труб, в прямоточном будут нарушены условия нормального охлаждения труб пароводяного трак­та.) Ясно, что небаланс между производством и потреблением пара как при­чину аварий нужно устранить. Это достигается посредством изменений ко­личеств воды, топлива и воздуха, подаваемых в котёл. Также очевидно, что указанные изменения должны быть организованы так, чтобы обеспечить на­дёжную и достаточно экономичную работу в течение переходного процесса, т.е. во время перехода от первоначального статического режима к другому статическому режиму, соответствующему новой электрической мощности.

Современные паровые котлы имеют высокие параметры пара, большие тепловые нагрузки и низкие запасы по надёжности. Так, например, при номи­нальной температуре перегретого пара, равной 550 °С, допустима работа в диапазоне (545 – 550) °С. Это продиктовано условиями надёжной работы тур­бины при максимальном КПД термодинамического цикла. Поэтому органи­зация изменений в подаче топлива, воды и воздуха немыслима без автоматических средств управления и регулирования. Конструирование и эксплуатация средств автоматики, а тем более выбор алгоритмов для управляющих машин, невозможны без изучения динамических процессов.

В паровом котле протекает много нестационарных процессов одновре­менно. Например, что происходит при изменении теплоты сгорания топлива? Во-первых, будет меняться тепловыделение, тем­пература продуктов сгорания и другие параметры в топочной камере. Этот процесс протекает с конечной скоростью. В самом деле, при мгновенном из­менении теплоты сгорания тепловыделение не может измениться мгновенно, пока все продукты сгорания, которые были в топке до момента внешнего воздействия, не покинут её, а частицы топлива с новой теплотой сгорания не успеют сгореть. Время установления новых параметров имеет порядок се­кунды. Во-вторых, изменение тепловыделения послужит причиной возник­новения других переходных процессов. Будет меняться интенсивность тепловосприятия экранов и других поверхностей нагрева. Это приведёт к изме­нению энтальпии среды на выходе из обогреваемых труб. Динамический процесс течения среды в какой-либо трубе будет длиться до тех пор, пока все частицы среды, заполнявшие трубу в момент внешнего воздействия, не покинут её – по аналогии с процессом в топке. Время установления нового ре­жима в трубе имеет порядок минуты. Времена установления нового состояния в топочной камере и в обогре­ваемой трубе сильно различаются. Первый процесс протекает намного быст­рее второго. Можно считать, что процессы в топочной камере протекают мгновенно, а учитывать нужно только медленные процессы, связанные с те­чением среды в трубах. Двум рассмотренным процессам сопутствует третий. Независимо от изменений теплоты сгорания при работе котла происходит увеличение толщи­ны наружных (и внутренних) отложений на стенках труб. Время, в течение которого толщина отложений меняется существенно, имеет порядок часа (су­ток). Это – очень медленный процесс. Можно считать, что за время переход­ного процесса, связанного с течением по трубе, толщина отложений остаётся постоянной. Очень медленные процессы также можно исключить из рас­смотрения.

Огра­ничимся только рассмотрением процессов в пароводяном тракте, т.е. в обогреваемых трубах.

Линеаризация. Теория автоматического регулирования изучает условия нормальной эксплуатации. Если какой-либо параметр немного изменится, то система управления должна так воздействовать на управляющие органы, чтобы устранить это малое изменение. Поэтому необходимо изучать динамические свойства, которые проявляются при малых изменениях параметров. Хотя почти все процессы в паре котле, как и в других технических устройствах, описываются нелинейными уравнениями, для анализа условий нормальной эксплуатации достаточно их линейное приближение. Нелинейные уравнения линеаризуют.

В общем случае линеаризация сводится к разложению линеаризируемой функции в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки и к отбрасыванию всех членов разложения порядка выше первого.

Котёл считают состоящим из большого числа элементов с сосредоточенными параметрами. Параметры на выходе из одного элемента являются внешними воздействиями для следующего за ним элемента. В результате такого подхода получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка (сотни уравнений). По существу дела, система уравнений высокого порядка является аппроксимацией уравнений в частных производных. Поэтому решают непосредственно систему уравнений в частных производных. Пароводяной тракт разбивают на части по конструктивному признаку, например, на экономайзер, нижнюю радиационную часть, переходную зону и т.д. по ходу рабочей среды. В пределах каждой части решают задачу, ис­пользуя уравнения в частных производных, которые учитывают непрерывное изменение параметров по длине. Некоторые из перечисленных частей иног­да бывает целесообразно разбить на участки, различающиеся характером, теплообмена (конвективный теплообмен однофазной жидкости, поверх­ностное кипение, развитое кипение).

Основные упрощающие допущения. Кроме допущений об одномерном характере процессов принимают ещё ряд упрощающих допущений, которые являются типичными для большинства работ по динамике паровых котлов:

• Вместо уравнения теплопроводности в стенках труб используют уравнение теплового баланса.

• Тепловой поток на наружной стороне трубы не зависит от параметров течения внутри неё.

• Эмпирические зависимости для коэффициентов трения, теплоотдачи, скольжения пара и др., полученные в статических условиях, считаются справедливыми и в динамике.

• Эффект скольжения можно учесть с помощью эмпирической формулы.

• Давление изменяется мало по сравнению с исходным статическим значением. Теплоёмкость воды и другие физические параметры являются постоянными и вычисляются в исходном статическом режиме.

Запишем систему уравнений (без скольжения), описывающих динамику вертикальной парогенерирующей трубы (законы сохранения массы, энергии, импульса и формула для баланса тепла в стенках):

,

,

,

,

где  – плотность; u – скорость; z – координата по высоте; i – энтальпия; f – площадь поперечного сечения; q – тепловой поток; m – масса стенок трубы единичной длины; c – удельная теплоемкость материала стенок; Т,  – температуры соответственно рабочей среды и стенок; П – периметр смоченного поперечного сечения; g – ускорение свободного падения. Чтобы число неизвестных было равно числу уравнений, к этой системе нужно добавить уравнение состояния и формулы для коэффициента теплоотдачи a и для коэффициента сил трения .

Расчётная схема и граничные условия. Трубы оказывают взаимное влияние друг на друга: параметры на трубы влияют на давление в выходном коллекторе и, стало быть, на течения в остальных трубах. Рассмотрим одну обогреваемую трубу. При аналитическом решении динамических задач считаем решение, полученное для конца первого по ходу нагреваемой среды участка, краевым условием для следующего за ним участка, и т.д. до выхода из трубы. В общем случае имеется шесть областей – конвективного теплообмена между стенкой и водой, поверхностного кипения, развитого кипения, ухудшенного тепло­обмена, конвективного теплообмена между стенкой и паром, а также пере­ходная область между последними двумя; в нормальных условиях эксплу­атации области ухудшенного теплообмена нет.

Кроме краевых условий, система уравнений нуждается ещё в начальных условиях. Для одиночной обогреваемой трубы стационарное решение уравнений неразрывности и теплового баланса имеет вид

, .

Индекс "0" отмечает параметры исходного стационарного режима при z = 0 и t = 0. Модели могут как учитывать аккумуляцию тепла в металле, так и не учитывать.

Проблема межвитковых пульсаций. В трубных панелях нижней радиационной части прямоточного котла могут иметь место повреждения труб, связанные с неустойчивостью гидродинамического течения. Это прояв­ляется в периодических колебаниях параметров в отдельных трубах – скоро­сти на входе, паросодержания на выходе и пр. При этом интенсивность обогрева, температура на входе, давления в коллекторах, а также массовый рас­ход через панель в целом практически не изменяются. Явление получило на­звание межвитковых пульсаций. Участок вблизи сечения начала развитого кипения омывается то водой, то пароводяной смесью. Это приводит к периодическим изменениям условий охлаждения металла, что является причиной термических напряжений и разрушений трубы. Кроме того, при автоколебаниях ухудшаются условия теплообмена и кризисные явления возникают при низких тепловых нагрузках. Период колебаний параметров и время транспорта частицы жидкости по трубе (или по ее экономайзерной части) – величины одного порядка. Давления в коллекторах практически не изменяются. Изменения давления малы по сравнению со средним давлением, по по­рядку величины они равны перепаду давлений между коллекторами. Пульсации развиваются постепенно: в начале процесса амплитуда коле­баний мала, и за период колебаний она изменяется незначительно (мяг­кое возбуждение).

Так как давления в коллекторах не изменяются и энтальпия на входе в трубы постоянна, то это означает, что можно рассматривать только одну трубу из всех па­раллельно включенных труб панели (однотрубная модель межвитковых пульсаций). Тот факт, что все трубы оказывают взаимное влияние, проявля­ется в том, что давления на концах одной трубы не меняются.