Полный трехфакторный эксперимент

Номер опыта	Факторы			Функция отклика
	х1	х2	х3
1	–	–	–	у1
2	+	–	–	у2
3	–	+	–	у3
4	+	+	–	у4
5	–	–	+	у5
6	+	–	+	у6
7	–	+	+	у7
8	+	+	+	у8

Получив уравнение регрессии, следует проверить его адекватность, т.е. способность достаточно хорошо описывать поверхность отклика. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера (F-критерия), который представляет собой следующее отношение:

,

где В – число коэффициентов искомого уравнения, включая и свободный член; , – экспериментальное и расчетное по уравнению значение функции отклика в i-м опыте; N – число опытов полного факторного эксперимента. Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие

,

где F_Т – табличное значение критерия Фишера для нормального закона распределения ошибок эксперимента берется из таблиц математической статистики для выбранной доверительной вероятности.

4. Численные методы

5.1. Интерполяция

Интерполяция – это построение достаточно простой функции (х), которая совпадает в узлах х₀, х₁, …, x_n с искомой функцией f(х). Применяется для построения аналитической (непрерывной) по табличной и для замены достаточно сложной аналитической функции, требующей много времени для обработки, на более простую. Самый простой и распространенный случай, когда (х) – многочлен. Чаще всего используются линейная, параболическая и кубическая интерполяции. При недостаточной гладкости функции f(х) интерполяционный интервал разбирается на частичные интервалы, что позволяет использовать интерполяцию невысокого порядка (сплайны).

Линейная аппроксимация. Будем аппроксимировать функцию стягивающей хордой на отрезке . Получим полином Лагранжа первой степени:

.

Погрешность аппроксимации:

,

где ; .

Разбивая отрезок с шагом h и на каждом из отрезков разбиения заменяя стягивающей хордой, получим кусочно-линейную аппроксимацию (рис. 5.1):

Рис. 5.1. Кусочно-линейная аппроксимация

При этом погрешность на всем отрезке составит

,

где .

Интерполяция полиномом Ньютона. Интерполяционный полином многочлен Ньютона совпадает с многочленом Лагранжа, т.е. это две разных формы записи одного и того же полинома. Рассмотрим интерполяцию с равноотстоящими узлами . Положим . Тогда

.

Данный многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед, где . При этом в качестве x₀ удобно выбирать самую левую точку интервала интерполяции. Интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции вперед удобно использовать для вычисления значения функции в левом конце отрезка или для экстраполяции левее начального приближения x₀. В качестве x₀ можно взять и правый конец отрезка, тогда и, следовательно,

– интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции назад (удобен для экстраполяции правее правого конца отрезка интерполяции), где . Нетрудно видеть, что по мере удаления от точки x₀ погрешность аппроксимации будет увеличиваться. Поэтому при интерполяции в середине отрезка удобно и целесообразно выбирать узлы интерполяции поочередно слева и справа от точки x₀.