2. Смешанное произведение.

1). -форма записи смешанного произведения.

2). =

3). Если -компланарны , то

4). , если

5).

Д₁ С₁

М A₁

В1

Д С

А В

, где V-объём параллелепипеда .

3. 2 Примеры решения задач.

Задача 5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD: А (2; 1; 0), B (3; -1; 2), С (13; 3; 10), D (0; 1; 4). Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ABC; 5) най­ти объем пирамиды ABCD.

Решение. I. Произвольный вектор а может быть представлен в системе орт i, j, k следующей формулой;

(1)

где а_х, а_у, а_г — проекции вектора а на координатные оси Ох, Оу и Oz, а — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу и Oz. Если даны точки и то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

(2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек A и В, получим вектор

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим век­тор :

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вы­числяется по формуле

(4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

,

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

Модули этих векторов уже найдены: , Следовательно,

¢.

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

4. Площадь грани ABC равна половине площади па­раллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на век­тор через вектор . Тогда, как известно, модуль вектора выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , а площадь грани ABC будет равна половине модуля вектора:

_

кв. ед.

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех не­компланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произ­ведение

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD равен 24 куб. ед.