- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
Данко, гл 4,§1-7
Лихолетов, ч I гл. 7, §58-61.
-
Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
Пусть требуется решить систему
(1)
После исключения переменной y из уравнений получим (2).
После исключения переменной x из уравнений получим (3)
Если знаменатель , то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам (2),(3).
Если принять обозначения:
, то решение системы примет вид : , (4)
, где - определители системы, - главный определитель.
Определитель- таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (1).
Определитель, имеющий две строки и два столбца называется определителем 2-го порядка. Формулы (4) называются формулами Крамера.
Вычисление определителей второго порядка:
(+)
(-)
Пример: =(-2·3)-(4·(-5))= -6+20=14,
-
Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
, т. е
Определитель 3-го порядка равен сумме произведений трёх элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
Пример. = ((-1)·1·(-1)+2·2·3+2·(-3)·3)-(3.1·3+2·2·(-1)+2·(-3)·(-1))= (1+12-18)- (9-4+6)=
= (-5)-11= -16.
-
Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
=
т.е значение определителя равно произведению элементов 1-ой строки на соответствующие определители 2-го порядка, полученные после вычёркивания -той строки и -того столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент, причём a1 берётся со своим знаком, a2-c противоположным, a3- со своим знаком.
Пример: Вычислить определитель.
-1 2 3
2 1 –3 = -1 -2 +3 = -1·(-1+6)-2(-2+9)+3(4-3)= -1·5-2·7+3·1= -16
3 2 -1
Замечание. Разложение можно выполнять по элементам любой строки (столбца).
Задача. Решить систему
Решение: Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:
= 1· - (-2) +1· = (-2+6)+2(-4+9)+1(4-3)=4+10+1=15
Составим вспомогательный определитель . Он получается из главного путём замены первого столбца свободными членами.
= 8· +2 +1 = 8(-2+6)+2 (-2-0)+1(2-0)=8·4+2·(-2)+2=30
Составим определитель , путём замены 2-го столбца (в главном определителе) свободными членами.
= - 45 Вычислить самостоятельно.
Составим определитель путём замены 3-го столбца (в главном определителе) свободными членами.
= =0 Вычислить самостоятельно.
Тогда по правилам Крамера имеем
, или , ,
Сделать проверку самостоятельно.
Ответ: x=2, y= -3, z =0