10. Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте определения функции двух, трёх переменных. Каков геометрический смысл функции двух независимых переменных?

2. Что называется областью существования (определения) функции двух переменных?

3. Что называется пределом функции двух независимых переменных?

4. Сформулируйте определение непрерывности функции двух переменных в точке и в области.

5. Что называется частным приращением функции двух переменных? Полным приращением функции двух (нескольких) переменных?

6. Дайте определение частной производной функции двух (нескольких) переменных. Укажите геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

7. Что называется частным дифференциалом функции двух переменных и каков его геометрический смысл?

8. Что называется полным дифференциалом функции двух (нескольких) переменных? Каков геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

9. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

10. Что называется полной производной и как она находится?

11. В чём смысл инвариантности полного дифференциала функции двух (нескольких) переменных?

12. Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции одной независимой переменной; двух независимых переменных.

13. Что называется частной производной второго порядка?

14. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка.

15. Сформулируйте теорему о независимости частной производной высшего порядка от последовательности дифференцирования.

16. Дайте определение максимума (минимума) функции двух переменных.

17. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции двух переменных. Укажите геометрический смысл необходимого признака экстремума функции двух переменных.

18. Какие точки называются критическими и как они находятся?

19. Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух независимых переменных.

20. Укажите способ отыскания наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной замкнутой области.

21. Дайте определение производной в данном направлении.

22. Что называется градиентом функции двух переменных? Трёх переменных?

23. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в данной точке.

24. В чём сущность подбора эмпирических формул по способу наименьших квадратов?

Тема 10. Криволинейный интеграл.

Пискунов, гл. XV, § 1-2, упр. 1-5

Данко, гл. II, § 1-4

0. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.

1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).

_{где h=AB, имеющая уравнение y= (x)}

_{dh-дифференциал дуги AB или h.}

2. _{Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).}

где _{имеющая уравнение y=(x),}

_ ^/_{(x)- производная y.}

3. _{Определение криволинейного интеграла по координатам (2-го рода).}

_{Криволинейный интеграл по координатам (II-го рода) есть работа, совершаемая переменной силой}

_{на криволинейном пути AB (механическое толкование).}

_4.

_5.

_{( A C B )}

6. _{Криволинейный интеграл II-го рода (по координатам) вычисляется по формуле:}

_{где представлена уравнением y= (x), a,b-отрезок изменения x дуги AB.}

_7.

_{т.е криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.}

_{8. не зависит от контура интегрирования между т. А и т. В, если выполняется тождественное равенство:}

_{Этот факт используется в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования (следует выбрать ломаную, соединяющую точки А и В , звенья которой параллельны осям (OX) и (OY).}

_{Подынтегральное выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции т.е а уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.}