- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
Вопросы для самопроверки.
-
Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции. Приведите примеры.
-
Дайте определение экстремума функции.
-
Как найти максимум, минимум функции (два правила)?
-
Приведите пример, когда обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума функции.
-
Как найти интервалы выпуклости (вогнутости) функции? Примеры.
Контрольная работа № 1.
В ЗАДАЧАХ 1 –10 решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
1. 5x +8y-z= -7, 2. x+2y +z=4,
x+2y+3z =1, 3x-5y+3z =1,
2x-3y +2z=9. 2x +7y- z=8.
3. 3x+2y + z= 5, 4. x+2y+4z=31,
2x+3y+ z =1, 5x+ y+ 2z=29,
2x + y+3z =11. 3x –y+ z=10.
5. 4x-3y +2z=9, 6. 2x-y- z =4,
2x+5y-3z=4, 3x+4y-2z=11,
5x+6y-2z=18. 3x-2y+4z =11.
7. x+ y+2z = -1, 8. 3x-y =5,
2x-y+2z= -4, -2x+ y+ z =0,
4x+ y+ 4z= -2. 2x- y+ 4z=15.
9. 3x –y+ z =4, 10. x+y +z =2,
2x- 5y –3z= -17, 2x- y – 6z= -1,
x + y- z= 0. 3x – 2y = 8.
В ЗАДАЧАХ 11-20 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол B в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение медианы AE; 5) уравнение и длину высоты CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку E параллельно стороне AB.
11. A (1;-1), B (4;3), C (5;1). 12. A (0;-1), B(3,3), C(4;1).
13. A(1;-2) B (4;2), C (5;0). 14. A (2;-2), B (5;2), C (6;0).
15. A(0;0), B (3;4), C (4;2). 16. A (0;1), B (3;5), C (4;3).
17. A(3;-2), B (6;2), C (7;0). 18. A (3;-3), B (6;1), C (7;-1).
19. A (-1;1), B (2;5), C (3;3) 20. A (4;0), B(7;4), C (8;2).
В ЗАДАЧАХ 21-30 даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1. записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;
2. найти угол между векторами
3. найти проекцию вектора на вектор
4. найти площадь грани ABC;
5. найти объём пирамиды ABCD;
21. A (1;2;1), B (-1;5;1), C (-1;2;7), D (1;5;9).
22. A (2;3;2), B (0;6;2), C (0;3;8), D (2;6;10).
23. A (0;3;2), B (-2;6;2), C (-2;3;8), D (0;6;10).
24. A (2;1;2), B (0;4;2), C (0;1;8), D (2;4;10).
25. A (2;3;0), B (0;6;0), C (0;3;6), D (2;6;8).
26. A (2;2;1), B (0;5;1), C (0;2;7), D (2;5;9).
27. A (1;3;1), B (-1;6;1), C (-1;3;7), D (1;6;9).
28. A (1;2;2), B (-1;5;2), C (-1;2;8), D (1;5;10).
29. A (2;3;1), B (0;6;1), C (0;3;7), D (2;6;9).
30. A (2;2;2), B (0;5;2), C (0;2;8), D (2;5;10).
В ЗАДАЧАХ 31-40 найти указанные пределы.
31. 1) а) x0=2; б) x0= -1; в) x0=
2)
32. 1) a) x0= -1; б) x0=1; в) x0=.
2)
33. 1) а) x0=2; б) x0=-2; в) x0=.
2)
34. 1) а) x0=1; б) x0=2; в) x0=.
2)
35. 1) а) x0= -2; б) x0= -1; в)= .
2)
36. 1) а) x0=-1; б) x0=1; в) x0=.
2)
37. 1) a) x0=2; б) x0=-2; в) x0=
2)
38. 1) a) x0=1; б) x0=2; в) x0=.
2)
39. 1) а) x0= -2; б) x0= -1; в) x0=.
2)
40. 1) a) x0= -1; б) x0=1; в) x0= .
2)
В ЗАДАЧАХ 41-50 найти производные пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
41. а) б)
в) г)
42. а) б)
в) г)
43. а) б)
в) г)
44. а) б)
в) г)
45. а) б)
в) г)
46. а) б)
в) г)
47. а) б)
в) г)
48. а) б)
в) г)
49. а) б)
в) г)
50. а) б)
в) г)
В ЗАДАЧАХ 51-60 1). исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. 2). Для функции из пункта а) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения на отрезке ;.
51. a) = -1; = 3;
б)
52. а) = -1; =2;
б)
53. а) =2, =4;
б)
54. а) = -1, =2;
б)
55. a) =0, =4;
б)
56. а) =-2, =3;
б)
57. а) =-3, =0;
б)
58. а) = -3, =1;
б)
59. а) =1, =4;
б)
60. а) = -1, =4;
б)
Решить ЗАДАЧИ 61-70 используя понятие экстремума функции.
61. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади, вписанного в круг радиуса 6 см?
62. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
-
Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S=24 (м2)
64. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна (м).
64. Объем правильной треугольной призмы равен V= 16 (м3). Какова должна быть длина стороны основания призмы, чтобы ее полная поверхность была наименьшей?
65. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 (см3), причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
66. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости (м3). Каковы должны быть размеры конуса (высота и радиус основания), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?
67. Найти прямоугольник наибольшей площади, если сумма длин его катета и гипотенузы постоянна и равна. 4 (см).
68. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
69. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма ' их кубов была наименьшей.
70. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, длина которой 72 м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была максимальной?
В ЗАДАЧАХ 71-80 найти приближённое значение функции y =f(x), заменяя приращение функции y соответствующим дифференциалом dy.
71. , x=3,94
72. , x=5,08
73. , x= 5,84
74. , x=4,06
75. , x= -7,85
76. , x= 9,08
77. , x=1,92
78. , x= 7,05
79. , x= -4,03
80. , x= 2,88
В ЗАДАЧАХ 81-90 для кривых в указанной точке A (x1,y1) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны.
81. , 82. , A (3;4)
83. y=2x2, 84. A (0;1)
85. , A (2;2) 86. , A(1;1)
87. , A 88. , A (1;0)
89. , A (1;1) 90. y =cosx , .
Указания к выполнению контрольной работы № 2
( Темы 7-10)