- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
-
Вопросы для самопроверки.
-
Какое равенство называется уравнением прямой?
-
Как пройдёт прямая линия, если свободный член в этом уравнении равен нулю?
-
Как вычислить угол между двумя прямыми? Каковы условия параллельности и перпендикулярности прямых?
-
Как найти угловой коэффициент прямой, если известны две её точки?
-
Запишите уравнения прямых, совпадающих с осями координат.
-
Дайте определение окружности. Приведите уравнение
к каноническому виду. Назовите центр и радиус данной окружности.
-
Сформулируйте определение эллипса, гиперболы, параболы. Постройте линию в системе координат.
-
Дайте определение эксцентриситета для: а) эллипса, б) гиперболы, в) параболы.
Тема 3. Основы векторной алгебры.
Ефимов, гл. 7,8
Клетенник, гл. 8,9; Данко, гл. 2.
3.1 Операции над векторами.
1. - направленный отрезок.
-
Сложение векторов.
+
или
+
-
Вычитание векторов.
-
- или
-
Умножение вектора на число.
3
| | |
-3
| | |
-
Скалярное произведение.
1) ·=)
2) ·=P, P- число
3) =
4) =
Свойства:
1). ·=-скалярное произведение векторов, заданных координатами.
2). cos = (проекция вектора на ). Поэтому
·=cos ==
3). =, =, где =
4). ·=0, если
5). = или -условие коллинеарности векторов.
6). Угол между векторами:
, - условие перпендикулярности двух векторов.
7). ·=·
8). ·
9).
-
Векторное произведение
удовлетворяет условиям:
1). и
2).
3). -образуют такую же ориентацию как
Свойства:
1). =
2). , где
3).
4). Если то
5).
6). Если , то
7.) - площадь параллелограмма.
-площадь треугольника.
8).
9).