Примеры решения задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4x-x² и осью ОХ.

Решение:

x

Решая систему, найдём точки пересечения: x=0; x=4.

Фигура OABO- криволинейная трапеция.

Значит, _{(кв. ед)}

Задача 2. Найти длину дуги кривой y²=x³ от x=0 до x=1, (y  0).

Решение:

Дифференцируем уравнение кривой

_{Имеем: (ед.)}

Задача 3. Найти статический момент и момент инерции полуокружности

(-r  x  r) относительно оси OX.

Решение.

1.

_2.

_{Введём подстановку}

_{. Если x=0, то t=0, если x=r, то .}

_{Следовательно}

Задача 4. Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли

Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади, а затем учетверить результат.

По формуле _имеем

_{Отсюда S=a}²

2. Вопросы для самопроверки.

1. Запишите формулу интегральной суммы функции f(x) на a;b.

2. Сформулируйте определение определённого интеграла по a;b

3. Каков геометрический смысл

_{4. По какой формуле вычисляется Приведите примеры.}

_{5. Дайте определение несобственного интеграла.}

_{6. Является ли несобственными?}

_{7. Геометрический смысл несобственных интегралов.}

_{8. В каких задачах используются определённые интегралы по отрезку a;b в геометрии?}

_{В механике?}

Тема 9. Функции нескольких переменных.

Пискунов, гл VIII, § 1-17, гл IX, § 6. упр 1-49.

Данко, гл VIII, § 1-4.

1. Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.

Определение. Если каждой паре действительных чисел (x,y)  D по некоторому правилу (закону) поставлено в соответствие одно и только одно значение переменной Z E, то говорят, что на множестве D задана функция z =f(x,y).

Множество D-область определения функции.

Область D есть часть плоскости, ограниченная замкнутой линией.

Графиком функции z =f(x,y) является некоторая поверхность Q.

Задача. Найти область определения функции

_{Решение:}

_{Функция z принимает действительные значения при условии a}²_-x²_-y²_≥0→x²_+y²_{≤ a}² _{круг с центром в начале координат, радиус круга a.}

_{Ответ: Областью определения данной функции является круг вида x}²_+y² _{≤ a}²

_{(граница-окружность включается)}

_{Изображение области определения на координатной плоскости ХОУ.}