3. Непрерывность функции. Точки разрыва.

Определение 1. Функция _{называется непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:}

_{Определение 2. Функция называется непрерывной в точке x0 , если}

_{где соответственно приращение аргумента и приращение функции.}

Пример. Дана функция

Требуется : 1). Найти точку разрыва данной функции.

2). Найти _и

3). Найти скачок функции в точке разрыва.

Решение.

Данная функция определена и непрерывна в

При x=1 функция терпит разрыв, т.к меняется аналитическое выражение функции.

y

x=1- точка разрыва первого рода.

Скачком функции называется абсолютная величина разности между её правым и левым предельными значениями т.е _{(ед). –скачок функции.}

4. Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение функции, области определения. Приведите примеры.

2. Сформулируйте определение предела функции в точке.

3. Какая переменная величина называется бесконечно малой? Бесконечно большой в точке и на бесконечности

4. Что означают выражения: _{где C-const ?}

5. Приведите пример бесконечно малой функции в т. x=2 и бесконечно большой функции в этой же точке (аналитический и графический).

6. Каким свойством обладает приращение аргумента и приращение функции, если функция непрерывна в точке x₀ ?

Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.

Пискунов, гл. III, § 1-26, упр 1-220

Гл. IV, § 1-7, упр 1-55.

5. 1 Определение производной, дифференциала.

1. Определение. Производной первого порядка от функции _{по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что , т.е. или}

2. _{, где - угол наклона касательной к}

_{- уравнение касательной, проведённой в т.}

3. _{- скорость изменения функции в т. x0.}

4. Отыскание производной называется дифференцированием.

5. _{- дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента.}

Геометрически dy представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.

6. _{- дифференциал аргумента равен приращению аргумента.}

_{- дифференциал функции и приращение функции равны лишь приближённо.}

7. _{- формула для приближённых вычислений.}

Таблица дифференциалов и производных основных элементарных функций.

Элементарные функции	дифференциал	производная
1	2	3
1. Степенная функция
2. Линейная функция a,b-постоянные y=x.
3.Тригонометрич. функции y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x
4. Показательная функция , a-число
5. Логарифмическая функция y=ln x
6. Иррациональная функция

1	2	3
7. Обратно тригонометричес- кие функции y= arcsin x y=arcos x y= arctg x y=arcctg x
8. y=c c-const	d(c)=0·dx