1.6. Симплексный метод с искусственым базисом

Предположим, что мы имеем задачу линейного программирования в каноническом виде:

(1.6.1)

Часто встречается ситуация, когда матрица А системы ограничений не содержит m единичных столбцов, а преобразование ее методом Жордана-Гаусса весьма трудоемко. В этом случае рекомендуется ввести в левые части ограничений задачи так называемые искусственные переменные в таком количестве, чтобы, в совокупности с имеющимися, образовался базис из m единичных столбцов. Отметим важное отличие искусственных переменных от дополнительных, которые вводились в ограничения для преобразования неравенств в равенства: если дополнительные переменные не входили в целевую функцию, то искусственные входят в Z с очень большим положительным коэффициентом Р → +∞. Предположим, мы ввели к искусственных переменных, в результате мы переходим к так называемой Р-задаче:

(1.6.2)

Связь между решениями исходной задачи линейного программирования и Р- задачи определяется следующей ТЕОРЕМОЙ:

Если Х^’’ = (х₁⁰, х₂⁰, …, х_n⁰, x_n+1⁰ ,…, x_n+k⁰) – оптимальное решение Р- задачи, то его первые n компонент Х^’= (х₁⁰, х₂⁰, …, х_n⁰) будут являться оптимальным решением исходной задачи.

Доказательство данной теоремы можно найти в [1]. Практическая сторона вычислений мало отличается от алгоритма симплекс-метода. Как правило, при пересчете симплекс-таблиц искусственные переменные выводятся из базиса уже на первых шагах, так как в строке оценок присутствуют Δ_j, содержащие Р → +∞. После исключения из базиса всех искусственных векторов задача решается обычным симплекс-методом.

Пример 1.6.1. Проиллюстрируем данный метод следующим примером. Дана задача линейного программирования:

Z = – 2x₁ – 3x₂ + x₃ → max;

x₁ – 3x₂ + x₃ = 1;

3x₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 11;

–2x₁ + x₂ +3x₃ ≥ 13;

x_j ≥ 0, j = 1, 2, 3.

Сведем задачу к каноническому виду, заменяя задачу максимизации на задачу минимизации и вводя дополнительные переменные для преобразования ограничений-неравенств в ограничения-равенства:

Z` = –Z = 2x₁ + 3x₂ – x₃ → min;

x₁ – 3x₂ + x₃ = 1;

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ = 11;

–2x₁ + x₂ + 3x₃ – x₅ = 13;

x_j ≥ 0, j =1, … 5.

Матрица системы ограничений

1 –3 1 0 0

А = 3 2 1 1 0

– 2 1 3 0 –1

содержит только один единичный столбец, значит, для получения начального базисного решения надо ввести две искусственные переменные х₆ и х₇, соответственно, в первое и третье ограничения. Эти переменные войдут в целевую функцию с коэффициентом Р → +∞. Итак, решаем Р-задачу:

Z` = 2x₁ + 3x₂ – x₃ + Рх₆ + Рх₇ → min;

x₁ – 3x₂ + x₃ + х₆ = 1;

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x₄ = 11;

–2x₁ + x₂ + 3x₃ –x₅ + х₇ = 13;

x_j ≥ 0, j =1, … 7.

Составляем начальную симплекс-таблицу и преобразовываем ее по изложенным выше правилам:

i	Базис	Сбаз	В	c1=2	c2=3	c3= –1	c4=0	c5=0	c6=P	c7=P	КΣ
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
1	A6	P	1	1	–3	1	0	0	1	0	1
2	A4	0	11	3	2	1	1	0	0	0	18
3	A7	P	13	–2	1	3	0	–1	0	1	15
m+1	Zj – cj		14P	–P–2	–2P–3	4P+1	0	–P	0	0

i	Базис	Сбаз	В	c1=2	c2=3	c3=–1	c4=0	c5=0	c6=P	c7=P	КΣ
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
1	A3	–1	1	1	–3	1	0	0	1	0	1
2	A4	0	10	2	5	0	1	0	–1	0	17
3	A7	P	10	–5	10	0	0	–1	–3	1	12
m+1	Zj – cj		10P–1	–5P–3	10P	0	0	–P	–4P–1	0

i	Базис	Сбаз	В	c1=2	c2=3	c3=–1	c4=0	c5=0	c6=P	c7=P	КΣ
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
1	A3	–1	4	–1/2	0	1	0	–3/10	1/10	3/10	23/5
2	A4	0	5	9/2	0	0	1	1/2	½	–1/2	11
3	A2	3	1	–1/2	1	0	0	–1/10	–3/10	1/10	6/5
m+1	Zj – cj		–1	–3	0	0	0	0	–1–P	–P

В последней таблице мы наблюдаем один из специальных случаев симплекс-метода: в строке оценок нет положительных чисел, однако в «небазисном» столбце А₅ стоит ноль (обычно нули в строке оценок должны располагаться под базисными переменными). Эта ситуация означает, что мы достигли оптимального решения (х₁ = 0; х₂ = 3; х₃ = 4), но оно не единственно, т. е. существует еще одна крайняя точка допустимой области L, где целевая функция достигает такого же минимального значения, именно, Z = –1. Чтобы найти координаты этой точки, надо сделать еще одно преобразование симплекс-таблицы, выбирая в качестве разрешающего столбца столбец с «небазисным» нулем, а разрешающую строку найти обычным способом. В результате получим:

i	Базис	Сбаз	В	c1=2	c2=3	c3=–1	c4=0	c5=0	c6=P	c7=P	КΣ
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
1	A3	–1	7	11/5	0	1	3/5	0	2/5	0	56/5
2	A5	0	10	9	0	0	2	1	1	–1	22
3	A2	3	2	2/5	1	0	1/5	0	–1/5	0	17/5
m+1	Zj – cj		–1	–3	0	0	0	0	–1–P	–P

Дальнейшие преобразования таблицы не имеют смысла, т.к. мы опять придем к предыдущему оптимальному решению.

Итак, мы получили два оптимальных решения:

Х⁽¹⁾_опт = (0; 1; 4) и Х⁽²⁾_опт = (0; 2; 7). Общее решение задачи записывается как выпуклая линейная комбинация данных решений:

Х_опт = λХ⁽¹⁾_опт + (1 – λ)Х⁽²⁾_опт; 0 ≤ λ ≤1.

Замечание. Выше упоминалось, что одним из исходов вычислений по симплекс-методу является установление факта отсутствия допустимых решений у задачи линейного программирования. Этот случай хорошо прослеживается в методе искусственного базиса. Именно, если в какой-нибудь из симплекс-таблиц в последней, (m+1)-ой строке столбца В появится выражение, содержащее множитель Р, а все оценки оптимальности Δ_j окажутся неположительными, то это будет означать, что в базисе остался искусственный вектор, однако значение целевой функции нельзя уменьшить. Такое возможно лишь в случае, когда ограничения задачи противоречивы, т. е. L = Ø.

Пример 1.6.2. Рассмотрим задачу:

Z = –x₁ + x₂ → max;

–x₁ + 2x₂ ≤ 3;

–2x₁ + x₂ ≥ 2;

x₁ + x₂ ≤ 1; x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0.

Приводим задачу к каноническому виду и вводим искусственную переменную х₅:

Z`= – Z = x₁ – x₂ + Рх₅ → min;

–x₁ + 2x₂ + x₃ = 3;

–2x₁ + x₂ – x₄ + x₅ = 2;

x₁ + x₂ + x₆ = 1;

x_j ≥ 0; j = 1, … 6.

Составляем начальную симплекс-таблицу:

i	Базис	Сбаз	В	c1=1	c2=–1	c3=0	c4=0	c5=P	c6=0	КΣ
				А1	А2	А3	А4	А5	А6
1	А3	0	3	–1	2	1	0	0	0	5
2	А5	P	2	–2	1	0	–1	1	0	1
3	А6	0	1	1	1	0	0	0	1	4
m+1	Zj – cj		2Р	–2Р–1	Р+1	0	–P	0	0

Вводим в базис А₂ и выводим А₆. Пересчитываем таблицу:

i	Базис	Сбаз	В	c1=1	c2=–1	c3=0	c4=0	c5=P	c6=0	КΣ
				А1	А2	А3	А4	А5	А6
1	А3	0	1	–3	0	1	0	0	–2	–3
2	А5	P	1	–3	0	0	–1	1	–1	–3
3	А2	–1	1	1	1	0	0	0	1	4
m+1	Zj – cj		2Р	–2Р–1	0	0	–P	0	–Р–1

Т еперь мы видим описанную ситуацию: в последней строке нет положительных оценок, однако из базиса еще не выведена искусственная переменная. Построим область допустимых решений данной задачи:

Легко видеть, что ограничения задачи несовместны, т.е. область L не имеет ни одной допустимой точки.