Алгоритм метода потенциалов

Он состоит из предварительного шага и общего повторяющегося шага.

Предварительный шаг включает в себя

1) Построение исходного ДБР (любым из известных методов).

2) Отыскание потенциалов U_i и V_j .

3) Проверку исходного ДБР на оптимальность.

Остановимся на пунктах 2) и 3), которые продемонстрируем для нашей задачи (см. табл. 1.9.1). Вводим неизвестные U_i и V_j и для всех базисных клеток построенного начального плана составляем уравнения вида U_i – Vj = c_ij и решаем полученную систему уравнений:

V₁ – U₁ = 5;

V₂ – U₂ = 2;

V₃ – U₂ = 2;

V₄ – U₁ = 10; (1.9.4)

V₄ – U₂ = 5;

V₄ – U₃ = 9;

V₅ – U₃ = 2.

Мы получили 7 уравнений с 8-ю неизвестными (система неопределенная), однако для проверки плана на оптимальность нам достаточно найти любое из решений. Обычно одно из неизвестных (как правило, то, которое чаще всего встречается в системе) полагают равным нулю, а остальные находят однозначно. Положим U₂ = 0, тогда решение системы будет иметь вид: {V₁ = 0; V₂ = 2; V₃ = 2; V₄ = 5; V₅ = –2; U₁ = –5; U₂ = 0; U₃= –4}. Теперь для проверки плана на оптимальность полученные результаты удобно представить в виде так называемой таблицы потенциалов:

Таблица 1.9.2

Vj Ui	0	2	2	5	–2
–5	5 5 0	7 8 –1	7 7 0	10 10 0	3 3 0
0	0 4 –4	2 2 0	2 2 0	5 5 0	–2 6 –8
–4	4 7 –3	6 3 3	6 5 1	9 9 0	2 2 0

Таблица заполнена по следующим правилам. В первой строке и в первом столбце стоят значения потенциалов U_i и V_j, полученные из решения системы (1.9.4). Каждая внутренняя клетка имеет такой формат (смысл обозначений приведен выше):

С*ij Cij ∆ij

В соответствии с теоремой о разрешимости транспортной задачи для того, чтобы проверяемый план был оптимальным, необходимо, чтобы во всех клетках таблицы потенциалов ∆_ij были неположительны. При наличии положительных ∆_ij план может быть улучшен в смысле уменьшения целевой функции. В нашем примере имеются две положительные оценки: ∆₃₂ = 3 и ∆₃₃ = 1, следовательно план не оптимален и его надо улучшать. Это делается в процессе общего повторяющегося шага. Принципы его следующие.

Так же, как и в симплекс-методе, одна из базисных перевозок выводится из базиса, а на ее место вводится новая, небазисная. Вводимая перевозка х_kl соответствует небазисной клетке с максимальной положительной ∆_ij (в нашем случае ∆₃₂ = 3), значит, вводим в базис перевозку х₃₂. Для определения перевозки, которую надо вывести из базиса, строим так называемый цикл пересчета, т. е. замкнутую ломаную линию, которая строится на таблице перевозок по следующим правилам:

1. Цикл начинается и заканчивается в клетке (k, l).

2. Ломаная может совершать повороты под прямым углом только в базисных клетках.

3. Цикл, удовлетворяющий условиям 1 – 2 может быть только один.

4. Исходная клетка цикла (k, l) помечается знаком (+), следующая базисная клетка, в которой ломаная делает поворот, знаком (–), и далее по очереди в клетках поворота чередуются знаки (+) и (–).

Нетрудно понять, что клеток, помеченных знаком (+), будет столько же, сколько и помеченных знаком (–). Эти клетки будут называться клетками, соответственно, положительной полуцепи и отрицательной полуцепи. Заметим, что ломаная цикла может иметь самый причудливый вид, иногда даже с самопересечениями. Построив цикл, находим клетку из отрицательной полуцепи с минимальной перевозкой х_ps = t. Это и будет перевозка, выводимая из базиса. Значения же базисных перевозок пересчитываются следующим образом:

– базисные перевозки, не входящие в цикл, остаются без изменения;

– из перевозок отрицательной полуцепи вычитается величина t;

– к перевозкам положительной полуцепи прибавляется величина t.

Замечание 1. Если в результате вычитания t в нуль обратится не одна, а несколько перевозок, то для избежания вырожденности плана в одной из клеток следует поставить –––, а в остальных − базисные нули.

Замечание 2. Если t = 0, т. е. в отрицательной полуцепи присутствовал базисный нуль, то значение целевой функции не изменится, однако ДБР все равно надо поменять.

Замечание 3. Нетрудно вывести формулу для приращения (в нашем случае в сторону уменьшения) целевой функции от шага r – 1 к шагу r:

Z_r = Z_r–1 – t* max ∆_ij.

Построенный цикл пересчета приведен в табл. 1.9.1. Мы видим, что t = 125, значит именно это количество груза «перегоняется» по циклу. Соответственно, целевая функция уменьшится на 125*3 = 375 единиц и станет равной:

Z₁ = 3950 – 375 = 3575. Для улучшенного плана строим новую таблицу перевозок:

Таблица 1.9.3

bj аi	100	125	325	250	100
200	5 100	8 –––	7 –––	10 100	3 –––
450	4 –––	2 –––	(–) 2 325	(+) 5 125	6 –––
250	7 ––––	3 125	(+) 5 –––	(–) 9 25	2 100

Теперь для проверки полученного плана на оптимальность нам опять надо составить и решить систему потенциалов – в этом и проявляется сущность общего повторяющегося шага. Выписываем и решаем систему уравнений:

V₁ – U₁ = 5; V₁ = 4; U₁ = –1;

V₂ – U₃ = 3; V₂ = 3; U₂ = 4;

V₃ – U₂ = 2; V₃ = 6; U₃ = 0;

V₄ – U₁ = 10; V₄ = 9;

V₄ – U₂ = 5; V₅ = 2.

V₄ – U₃ = 9;

V₅ – U₃ = 2;

Результаты решения системы заносим в новую таблицу потенциалов (табл.1.9.4).

Таблица 1.9.4

Vj Ui	4	3	6	9	2
–1	5 5 0	4 8 – 4	7 7 0	10 10 0	3 3 0
4	0 4 – 4	–1 2 –3	2 2 0	5 5 0	–2 6 –8
0	4 7 –3	3 3 0	6 5 1	9 9 0	2 2 0

Теперь мы видим одну положительную оценку: ∆₃₃ = 1, значит снова надо строить цикл пересчета и улучшать план перевозок. Цикл приведен в табл. 1.9.3, а улучшенный план в табл. 1.9.5. (очевидно, t = 25).

Таблица 1.9.5

bj аi	100	125	325	250	100
200	5 100	8 –––	7 –––	(–) 10 100	(+) 3 –––
450	4 –––	2 –––	(–) 2 300	(+) 5 150	6 –––
250	7 ––––	3 125	5 25 (+)	9 –––	(–) 2 100

Z₂ = 3575 – 1*25 = 3550. Снова выписываем и решаем систему потенциалов:

V₁ – U₁ = 5; V₁ = 3; U₁ = –2;

V₂ – U₃ = 3; V₂ = 3; U₂ = 3;

V₃ – U₂ = 2; V₃ = 5; U₃ = 0;

V₃ – U₃ = 5; V₄ = 8;

V₄ – U₁ = 10; V₅ = 2.

V₄ – U₂ = 5;

V₅ – U₃ = 2;

Результаты решения системы заносим в новую таблицу потенциалов (табл.1.9.6):

Таблица 1.9.6

Vj Ui	3	3	5	8	2
–2	5 5 0	5 8 – 3	7 7 0	10 10 0	4 3 1
3	0 4 – 4	0 2 –2	2 2 0	5 5 0	–2 6 –7
0	3 7 –4	3 3 0	5 5 0	8 9 –1	2 2 0

Еще раз мы видим положительную оценку, на этот раз ∆₁₅ = 1, снова строим цикл пересчета (на табл. 1.9.5). Улучшенный план заносим в табл. 1.9.7.

Таблица 1.9.7

bj аi	100	125	325	250	100
200	5 100	8 –––	7 –––	10 0	3 100
450	4 –––	2 –––	2 200	5 250	6 –––
250	7 ––––	3 125	5 125	9 –––	2 –––

Здесь t = 100 и встретился случай, упомянутый в замечании 1. Базисный ноль ставим в клетку (1, 4), а клетка (3, 5) уходит из базиса. Z₂ = 3575 – 1*100 = 3450. Проверяем данный план на потенциальность:

V₁ – U₁ = 5; V₁ = 5; U₁ = 0;

V₂ – U₃ = 3; V₂ = 5; U₂ = 5;

V₃ – U₂ = 2; V₃ = 7; U₃ = 2;

V₃ – U₃ = 5; V₄ = 10;

V₄ – U₁ = 10; V₅ = 3.

V₄ – U₂ = 5;

V₅ – U₁ = 3;

Строим таблицу потенциалов:

Таблица 1.9.8

Vj Ui	5	5	7	10	3
0	5 5 0	5 8 –3	7 7 0	10 10 0	3 3 0
5	0 4 –4	0 2 –2	2 2 0	5 5 0	–2 6 –8
2	3 7 –4	3 3 0	5 5 0	8 9 –1	1 2 –1

В последней таблице потенциалов нет ни одной положительной оценки, следовательно, последний план перевозок, представленный в табл. 1.9.7, оптимален. Решение транспортной задачи обычно приводят в виде:

Х_опт = {x₁₁ = 100, x₁₅ = 100, x₂₃ = 200, x₂₄ = 250, x₃₂ = 125, x₃₃ = 125} ,

Z_опт = 3450.

Замечание 4. Если в последней таблице потенциалов, соответствующей оптимальному плану, мы видим оценки ∆_ij = 0 не только в базисных клетках (это естественно!), но и в небазисных, то этот факт говорит о том, что оптимальный план не единственный. Чтобы получить альтернативный оптимальный план с тем же самым значением целевой функции, можно построить еще один цикл пересчета, начинающийся в небазисной клетке с ∆_ij = 0. Таких планов будет столько же, сколько есть небазисных клеток с нулевыми оценками оптимальности.

Заметим, что алгоритм метода потенциалов монотонен (в смысле не- возрастания целевой функции) и конечен, ввиду конечности множества допустимых решений транспортной задачи.