1.10. Задача об оптимальных назначениях
Данная задача была описана в п. 1.1. (D). Нетрудно понять, что по постановке она очень близка к транспортной, очевидно, и метод ее решения будет достаточно похожим. Есть, правда, две особенности, но они не создают принципиальных трудностей.
1. Все ai = bj = 1, причем их количества равны (i, j = 1, … n), т. е. данные задачи будем задавать в виде квадратной таблицы (n x n).
2. Так как целевая функция направлена на максимум, то начальное ДБР строят методом максимальной эффективности либо подобным ему по смыслу, т. е. помещая хij в клетки с максимальными сij. Соответственно, критерием оптимальности плана назначений при использовании метода потенциалов будет условие ∆ij ≥ 0 для всех i, j.
В качестве примера рассмотрим задачу об оптимальном назначении 4-х специалистов на 4 работы. Соответствующие эффективности даны в клетках табл. 1.10.1:
Таблица 1.10.1
|
Специалист |
І |
ІІ |
ІІІ |
ІV |
|
|
(+) 7 ––– |
7 ––– |
( – ) 8 1 |
8 ––– |
|
II |
5 0 |
3 ––– |
6 ––– |
7 1 |
|
III |
4 ––– |
6 1 |
7 ––– |
5 0 |
|
|
( – ) 3 1 |
5 ––– |
(+) 6 0 |
4 ––– |
Работа
I
IVCоставляем начальный план назначений по методу максимальной эффективности. Здесь следует учесть, что ненулевых начальных назначений можно сделать n = 4, а m + n – 1 = 2n – 1 = 7, следовательно, для невырожденности начального ДБР в таблицу надо поставить 3 базисных нуля (естественно, не нарушая связности плана). Построенный план приведен в табл. 1.10.1. Очевидно, Z0 = 8 + 7 + 6 + 3 = 24. Применяем метод потенциалов. Записываем и решаем систему уравнений:
V1
– U2 = 5;
V1 = 5;
U1 = 0;
V1 – U4 = 3; V2 = 8; U2 = 0;
V2 – U3 = 6; V3 = 8; U3 = 2;
V3 – U1 = 8; V4 = 7; U4 = 2.
V3 – U4 = 6;
V4 – U2 = 7;
V4 – U3 = 5;
Строим и анализируем таблицу потенциалов:
Т
аблица
1.10.2
|
Vj Ui |
5 |
8 |
8 |
7 |
|
0 |
5 7 – 2 |
8 7 1 |
8 8 0 |
7 8 – 1 |
|
0 |
5 5 0 |
8 3 5 |
8 6 2 |
7 7 0 |
|
2 |
3 4 – 1 |
6 6 0 |
6 7 – 1 |
5 5 0 |
|
2 |
3 3 0 |
6 5 1 |
6 6 0 |
5 4 1 |
Так как в таблице присутствуют отрицательные ∆ij, данный план нельзя считать оптимальным. Строим цикл пересчета, стартуя из клетки с минимальной оценкой (–2), т. е. из клетки (1; 1). Цикл показан в табл. 1.10.1.
В отрицательной полуцепи минимальное назначение равно 1, значит мы полагаем х11 = х43 = 1, х41 уходит их базиса, а х13 делаем базисным нулем. Новый план заносим в табл. 1.10.3:
Таблица 1.10.3
|
Специалист |
І |
ІІ |
ІІІ |
ІV |
|
|
(+) 7 1 |
7 ––– |
( – ) 8 0 |
8 ––– |
|
|
( – ) 5 0 |
3 ––– |
6 ––– |
(+) 7 1 |
|
|
4 ––– |
6 1 |
(+) 7 ––– |
( – ) 5 0 |
|
IV |
3 ––– |
5 ––– |
6 1 |
4 ––– |
Работа
I
II
IIIZ1 = 7 + 7 + 6 + 6 = 26. Проверяем этот план на оптимальность с помощью системы потенциалов:
V
1
– U1
= 7; V1
= 7; U1
= 0;
V1 – U2 = 5; V2 = 10; U2 = 2;
V2 – U3 = 6; V3 = 8; U3 = 4;
V3 – U1 = 8; V4 = 9; U4 = 2.
V3 – U4 = 6;
V4 – U2 = 7;
V4 – U3 = 5;
Заносим результаты в новую таблицу потенциалов:
Таблица 1.10.4
|
Ui |
7 |
10 |
8 |
9 |
|
0 |
7 7 0 |
10 7 3 |
8 8 0 |
9 8 1 |
|
2 |
5 5 0 |
8 3 5 |
6 6 0 |
7 7 0 |
|
4 |
3 4 – 1 |
6 6 0 |
4 7 – 3 |
5 5 0 |
|
2 |
5 3 2 |
8 5 3 |
6 6 0 |
7 4 3 |
VjОпять мы видим две отрицательные оценки. Помещаем начало цикла в клетку (3; 3). Цикл построен в табл. 1.10.3. Здесь мы получили уже упоминавшийся выше цикл с самопересечениями. Теперь минимальное хij в отрицательной полуцепи равно нулю, это значит, что значение целевой функции не изменится, однако базисное решение поменяется. Заносим его в табл. 1.10.5. (базисный ноль помещен в клетку (3; 3), а х34 ушло из базиса).
Таблица 1.10.5
|
Специалист |
І |
ІІ |
ІІІ |
ІV |
|
I |
7 1 |
7 ––– |
8 0 |
8 ––– |
|
II |
5 0 |
3 ––– |
6 ––– |
7 1 |
|
III |
4 ––– |
6 1 |
7 0 |
5 ––– |
|
IV |
3 ––– |
5 ––– |
6 1 |
4 ––– |
РаботаЕще раз составляем систему потенциалов:
V
1
– U1
= 7; V1
= 7; U1
= 0;
V1 – U2 = 5; V2 = 7; U2 = 2;
V2 – U3 = 6; V3 = 8; U3 = 1;
V3 – U1 = 8; V4 = 9; U4 = 2.
V3 – U3 = 7;
V3 – U4 = 6;
V4 – U2 = 7;
Заносим потенциалы в таблицу:
Т
аблица
1.10.6
|
Vj Ui |
7 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
7 7 0 |
7 7 0 |
8 8 0 |
9 8 1 |
|
2 |
5 5 0 |
5 3 2 |
6 6 0 |
7 7 0 |
|
1 |
6 4 2 |
6 6 0 |
7 7 0 |
8 5 3 |
|
2 |
5 3 2 |
5 5 0 |
6 6 0 |
7 4 3 |
В последней таблице уже нет отрицательных ∆ij, значит, мы получили оптимальное решение (однако оно не единственно, т. к. есть ∆ij = 0 в небазисных клетках, например в клетках (1; 2) и (2; 3)). Выписываем полученный оптимальный план назначений:
специалиста I надо закрепить за работой I;
специалиста II надо закрепить за работой IV;
специалиста III надо закрепить за работой II;
специалиста IV надо закрепить за работой III;
при этом суммарная эффективность будет равна 26 единиц.
Задача полностью решена.