1.5.3. О численном решении уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы масс

Системы дифференциальных уравнений движения, вариан-ты записи которых даны в табл. 1.2 в общем случае имеют решения, складывающиеся из общих решений соответствую-щих однородных ( с нулевыми правыми частями ) уравнений^*) и частных решений неоднородных уравнений с заданными времен-

ными функциями в правых частях. Отыскание

этих частных решений и составляет основную сложность дина-мического расчёта, так как они могут быть найдены аналити-чески лишь в отдельных немногочисленных случаях постановки

задач динамических расчётов и вида функций

описывающих изменение во времени воздействий на рассчи-тываемое сооружение или конструкцию, – некоторые из них бу-дут рассмотрены в следующих параграфах.

В практических расчётах, особенно при сложном времен-ном характере воздействий ( сейсмических, аэродинамических и др.) реализуются различные численные методы решения ( разло-жение по главным формам колебаний, Рунге – Кутта, с исполь-зованием интеграла Дюамеля и др.), изложению которых уделя-ется большое внимание в учебниках, например, [ 1, 2 ]. В [ 6 ] да-но описание матричного алгоритма динамического расчёта по методу конечных элементов с уравнениями движения типа ( 1.24 ) ( (1Б в табл. 1.2 ) и соответствующей специализированной ком-пьютерной программы.

Далее покажем возможность применения метода конеч-ных разностей ( МКР ) для получения приближённого решения системы дифференциальных уравнений движения с учётом дис-сипации, при произвольном законе изменения воздействий во времени.

Рассмотрим вариант уравнений 1А ( табл. 1.2 ) с динами-ческими перемещениями масс ( число степеней свободы масс – n ) и матрицей податливости системы. В этих уравнениях присут-ствуют n искомых функций y₁(t), …, y_i (t), …, y_n (t), а также их

п

^*) Общее решение системы однородных уравнений будет приведено в

п. 1.5.4.

ервые и вторые производныеи .

Для определения перемещений в некотором заранее назна-ченном ограниченном интервале времени [ 0, T₀ ] выбираются

расчётные точки со значениями времени t₀ , t₁ , …, t_j , …, с по-

стоянным шагом t = T₀ / n_t ( n_t – число шагов в интервале ), при-

ч

y_i (t)

t

t

ём n_t следует выбирать таким, чтобы получить шаг t не более T_min / 4, где T_min – наименьший из периодов собственных колеба-ний системы ( в [ 1 ] – T_min / 20 ).

y_i (t)

t

t_{j – 1}

t_{j +1}

t_j

0

Для j-й расчётной точки, соответ-

ствующей аргументу t_j = конечно-

разностные приближённые выражения

п

j –1

j

j +1

роизводныхитаковы:

( 1.35 )

; ( 1.34 )

Рис. 1.21

где y_{i, j – 1} = y_i ( t_{j – 1}) ; y_{i, j} = y_i ( t_j) ; y_{i, j + 1} = y_i ( t_{j + 1}) ( рис. 1.21 ).

Подстановка ( 1.34 ), ( 1.35 ) и подобных им выражений

и в i-е дифференциальное уравнение системы ( 1.14 )

( ( 1.14*) или 1А из табл. 1.2 ) даёт его конечно-разностный ана-лог:

( 1.36 )

где

В правой части уравнения – известная величина, вычисля-

емая через значения заданных функцийпри t = t_j .

В левой части – 3n искомых значений функций y₁(t), …, y_n (t) в расчётные моменты времени t_{j –1} , t_j и t_{j +1}.

По ( 1.36 ) составляются конечно-разностные аналоги всех n дифференциальных уравнений системы ( 1.14 ) для j-й расчёт-ной точки по времени ( t = t_j ).

Описанные процедуры выполняются для расчётных вре-менных точек 1, 2, …, n_t интервала [ 0, T₀ ], начиная по времени

с t₁ = t и заканчивая В результате получается система

линейных неоднородных конечно-разностных уравнений, общее число которых равно В этих уравнениях неизвестными яв-ляются значения функций y₁(t), …, y_{n +1} (t) в n_t +2 расчётных точ-ках – от t₀ = 0 до ( значения функций в начальной точке j = 0 интервала и в законтурной точке j = n_t +1 попадают в уравнения из выражений производных ( 1.34 ) и ( 1.35 )). Число неизвестных составляет , что на 2n меньше числа урав-нений. Недостающие 2n уравнений получаются из начальных условий движения масс – по 2 для каждой степени свободы ( зна-чения перемещений и скоростей в начальный момент движения, т. е. при t = 0 ). В большинстве случаев началь-ные условия – однородные:

y_i (0) = 0, ( 1.37 )

( исключение – при воздействиях, приводящихся к «мгновенно-му» импульсу, когда задаётся начальная скорость ). Если исполь-зовать уточнённую ( кубическую ) аппроксимацию функции y_i (t) по трём точкам t = 0, t = t и t = 2t, то из ( 1.37 ) получается

y_{i, 2} = 8y_{i, 1} . ( 1.38 )

ет вид

По такому же алгоритму строится численное решение задачи динамики в варианте с матрицей жёсткости по ( 1.24 ) (( 1.25 ) или 1Б в табл. 1.2 ). В этом случае i-е конечно-разностное уравнение для момента времени t = t_j =( j = 1, 2, …, n_t –1 ) име-

( 1.39 )

где

Решение системы конечно-разностных уравнений даже очень высокого порядка не составляет проблемы в современных компьютерных расчётах. После определения всех компонентов перемещений масс в намеченные расчётные моменты времени далее по ( 1.34 ) и ( 1.35 ) вычисляются скорости и ускорения, а по ним, на основании ( 1.3 ) и ( 1.2 ), – диссипативные и инерци-онные силовые факторы, которые затем используются для отыс-кания динамических усилий в рассчитываемой системе. Пример расчёта с применением МКР дан в главе 3.

При необходимости решение может быть продолжено в следующем временном интервале с использованием в начальных условиях этого нового интервала двух последних ранее найден-ных значений каждого из перемещений масс:

( 1.40 )

( здесь q – номер предыдущего интервала, n_t – номер его послед-ней расчётной точки ). С учётом начальных условий ( 1.40 ) пра-

вые части в первых двух группах ( для и ) конечно-раз-

ностных уравнений ( 1.36 ) будут:

и , ( 1.41 ) где – шаг в ( q +1)-м интервале.

Для уравнений ( 1.39 ) соответственно получается

и

. ( 1.42 )

Значения временных функций в уравнени-ях для расчётных точек и т. д. вычисляются при аргу-менте .

Продолжать решение с последовательным переходом от од-ного интервала к другому формально можно любое число раз, правда, с опасностью плохо контролируемого накопления вычислительных погрешностей.

Замечание: для уменьшения влияния погрешностей МКР, силь-нее всего сказывающихся на определяемых перемещениях в двух-трёх последних расчётных точках, что может сильно искажать результаты в следующем интервале, полезно при переходе к новому интервалу сде-

лать два шага по t назад, т. е. использовать в начальных условиях

не и , а и и формировать уравнения, начиная

с .

Конечно-разностное решение можно применять и для урав-нений с силами инерции в качестве основных неизвестных ( см. ( 1.15 ), ( 1.27 ), 2А и 2Б из табл. 1.2 ) – здесь не приводится. В этом случае после отыскания значений инерционных сил пе-ремещения, если их также нужно найти, определяются допол-нительными расчётами, например, методом Максвелла – Мора, а в сложных системах – методом конечных элементов.