1.5.4.2. Характеристическое ( частотное ) уравнение;

спектр частот; главные формы колебаний, их свойства

В однородных уравнениях ( 1.48 ) и ( 1.51 ) кроме n основ-ных неизвестных ( амплитуд сил инерции J ) присутствует также неизвестная частота собственных колебаний как параметр в главных коэффициентах( i = 1, 2, ..., n ).

Уравнения ( 1.51 ) с учетом ( 1.52 ) принимают вид (  – _a ^–1)= 0, а после умножения на а:

( A – )= 0 ( здесь А = а, E = 11 ...1 ) – это стандартная фор-мулировка задачи о собственных значениях ( числах ) матрицы А.

Её решение хорошо известно в линейной алгебре.

С математической точки зрения

это – задача о собственных значениях

матрицы, общее решение которой

предполагает:

1) формирование характерис-

тического уравнения ( алгебраичес-

n-го порядка относительно собствен-

ного значения  ) и отыскание его кор-

ней ₁ , ₂ , ..., _j , ..., _n ;

2) вычисление собственного вектора основных неизвест-ных для каждого найденного значения _j .

^*) Тривиальное решение J = 0 в рассматриваемой задаче динамики означает отсутствие движения и поэтому не представляет интереса.

Характеристическое уравнение получается из условия на-хождения нетривиального ( отличного от нуля )^*) решения сис-темы однородных уравнений.

В рассматриваемой задаче о

собственных колебаниях это

условие имеет вид J  0 и

физически истолковывается как требование существования ненулевых сил инерции или, по сути, существования колебаний.

Решение J  0 возможно лишь при вырождении матрицы коэффициентов системы уравнений ( 1.51 ), то есть при

Det () = 0 ( 1.54 )

или Det (  –  a ^–1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.54*)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Характеристическое уравнение ( 1.54 ) или ( 1.54*) с учётом физического смысла задачи называется уравнением частот собственных колебаний или частотным уравнением.

Например, при n = 2: Det () =

= ( ₁₁ – /a₁)( ₂₂ – /a₂ ) – ₁₂ ₂₁ = 0,

 откуда ² – ( ₁₁a₁+ ₂₂ a₂ ) _+

+a₁a₂  ( ₁₁₂₂ – ₁₂ ₂₁) = 0

– квадратное уравнение относитель-

но , имеющее два корня – ₁ и₂.

Его корни ( для рассматри-

ваемого класса систем – дейст-

вительные положительные )

₁ ₂ ... _j ... _n

позволяют вычислить частоты

собственных колебаний _j =, образующие, в по-

рядке возрастания, спектр частот _{1 }₂... __j...__n , где ₁_min – частота основного тона собственных колебаний, ₂ ,₃ , ... – частоты 1-го, 2-го и следующих обертонов.

Особенностью задачи о собственных колебаниях является то, что даже при известной частоте невозможно определить из уравнений ( 1.51 ) числовые значения ненулевых инерционных силовых факторов J – математически это обусловлено однород-ностью уравнений ( 1.51 ), а физически объясняется тем, что начальные условия собственных колебаний обычно не задаются, то есть значения J_i (0) и y_i (0) ( i = 1, 2, ..., n ) при t = 0 неизвестны. Поэтому приходится довольствоваться отысканием хотя бы со-отношений сил инерции, а по ним – и перемещений масс. Эти соотношения входят в собственные векторы_J и _y , выража- ющие все силы J₁ , J₂ , ..., J_n через одну из них J_k 0 ( _J = = [ _J1 ... _Ji ... _Jn ] ^т, _Ji = J_i /J_k ) и все перемещения y₁, y₂ , ..., y_n через y_k 0 ( _y = [ _y1 ... _yi ... _yn ] ^т, _yi = y_i /y_k ).

Собственных векторов _J и _y в совокупности с частотой 

вполне достаточно для описания собственных колебаний, кото-рые полностью характеризуются частотой, с которой они про-исходят, и соответствующей формой движения системы ( глав-ной формой колебаний ) – при этом числовые значения амплитуд перемещений и силовых факторов ( в том числе и инерционных ) не играют принципиальной роли.

Для нахождения собственного вектора сил инерции _J используется система уравнений, получаемая из канонических уравнений ( 1.51 ) делением всех их членов на J_k 0:

 J = _J = 0. ( 1.55 )

нения:

Поскольку k-й компонент вектора _J равен 1 ( _Jk = J_k / J_k = = 1 ), то неизвестных соотношений J_i / J_k остается n – 1: _J1 , _J2 , ..., _{J, k – 1} , _{J, k + 1} , ..., _Jn – они образуют редуцированный ( умень-шенный на 1 ) вектор _{J, red} . Уравнений ( 1.55 ) оказывается на 1 больше, чем нужно для вычисления _{J, red} , поэтому одно из них ( любое ) следует отбросить. В результате для определения реду-цированного собственного вектора _{J, red} , соответствующего не-которой частоте _j , имеем систему из n – 1 неоднородного урав-

_{J(j), red} + = 0 ( 1.56 )

или в развернутом матричном виде:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1.56*)