1.5.1. Уравнения для общего случая движения

Нагрузки q(t) могут быть распределёнными по линии, поверхности (плоскости) или по объёму; возможны также воздействия в виде сосредо-точенных и распределённых динамических моментов.

Согласно общей расчётной модели, представленной на рис. 1.14, заданными являются динами-

ческие нагрузки F(t) и q(t) и кинемати-

ческие возбуждения (t), для которых за-

коны изменения во времени известны.

Если ввести обобщённое обозначе-

н

P_p(t)

ие P_p (t) для параметра воздействия ( в

к

t

ачестве P_p (t) может выступать F(t), q(t),



P_p

(t) и др.; здесь р – номер воздействия;

и

0

х общее количество – n_P ), то удобно

P

_p (t)

_p (t) задавать в виде

P_p (t) = P_р _p (t), ( 1.7 )

г

t

0

1

де Р_р – наибольшее ( амплитудное ) зна-

чение функции P_p (t) ( рис. 1.15 );

Рис. 1.15

_p (t) – безразмерная функция времени.

Неизвестными, которые нужно оп-

ределить, являются функции перемещений масс y_i (t) ( i =), а

также инерционных J_i (t) и диссипативных силовых факторов

F_Di (t) ( i = ). Из них для определения динамических усилий в

системе ( а именно они представляют наибольший интерес для оценки прочности и устойчивости сооружения / конструкции ) бо-лее важны функции J_i (t) и F_Di (t), так как после их отыскания внутренние силовые факторы в системе в любой момент её дви-жения ( при задаваемом значении времени t ) могут быть вычис-лены обычным путём ( классическими методами строительной механики или методом конечных элементов ) как в системе, на-ходящейся в равновесии при известных внешних силах F(t), q(t), J_i (t) и F_Di (t) – см. рис. 1.14. Но поскольку величины J_i (t) и F_Di (t) выражаются через перемещения масс y_i (t) посредством диффе-ренциальных зависимостей ( 1.2 ) и ( 1.3 ), то наиболее общим является решение, в котором в первую очередь определяются

ф

Далее будет показано, что возможны решения с первоначальным определени-ем инерционных сил, но в этом случае для отыскания других величин ( перемещений и диссипативных сил ) требуется интегрирование дифференциальных уравнений ( 1.2 ) и ( 1.3 ), с выполнением дополнительных процедур для определения постоянных интег-рирования.

ункции перемещений y_i (t) ( i = ).

Получение уравнений движения основывается на том, что в состоянии условного равновесия ( по Д’Аламберу ) системы, представленной на рис. 1.14, все компоненты перемещений y₁(t), y₂ (t), …, y_i (t), …, y_n (t) точек расположения масс в некоторый момент времени t можно рассматривать как результат совмест-ного действия представленных в расчётной модели факторов – активных силовых F(t), q(t) и кинематических (t) ( обобщённо –

P_p (t), p = 1, 2, …, n_p ), а также инерционных J_i (t) и диссипативных

F_Di (t) ( i = ). Тогда некоторое перемещение y_i (t) определяется,

на основании принципа суперпозиции, как сумма составляющих от каждого из вышеуказанных факторов:

y_i (t) = y_iJ (t) + y_iFD (t) + y_iP (t), ( 1.8 )

где y_iJ (t), y_iFD (t), y_iP (t) – вклады в полное перемещение y_i (t) со-ответственно инерционных силовых факторов J (t), диссипатив-ных сил и моментов F_D (t) и заданных динамических воздействий P (t). Применяя принцип аддитивности к каждой группе – J (t), F_D (t) и P (t), имеем

y_iJ (t) = y_iFD(t) = y_iР (t) = ( 1.9 )

Для определения перемещенияпо направлению i-й степени свободы ( или, что то же самое, по направлению i-го инерционного силового фактора J_i (t) ) от k-го инерционного си-лового фактора J_k (t) используем тот же приём, что и в классиче-ском методе сил: введём в рассмотрение единичное перемеще-ние _ik в заданной системе по направлению J_i (t) от единичного воздействия J_k = 1. Тогда= _ik J_k (t). Заметив, что J_k (t) и F_Dk (t) приложены в одной и той же точке и совпадают по направ-лению, получаем аналогично= _ik F_Dk (t), после чего нахо-дим

y_iJ (t) + y_iFD (t) == =

= ( 1.10 )

Смысл коэффициента _ik иллюстрирует рис. 1.16, где пред-ставлено k-е единичное состояние рассчитываемой системы. Кроме _ik , в этом же состоянии присутствуют также единичные перемещения по направлениям и всех остальных степеней сво-боды масс ( _1k , _2k , …, _{i – 1, k} , _{i + 1, k} , …, _nk ). Для отыскания этих перемещений используются известные методы, процедуры и формулы строительной ме-

х

J_k = 1 или F_Dk = 1

_ik

_kk

_1k

аники, например, формула

М

_{i+1, k}

аксвелла – Мора для стер-

ж

_2k

невых систем, в том числе

с

_nk

татически неопределимых,

пространственных; для сло-

жных систем – метод конеч-

ных элементов.

Перемещение y_iР (t) от

заданных воздействий пред- Рис. 1.16

ставляем, учитывая ( 1.7 ), в виде

y_iР (t) = ( 1.11 )

где – перемещение в заданной системе по направлению J_i (t)

_kF

от амплитудного ( наибольшего ) значения P_p р-го па-

F_max

_iF

раметра воздействий.

_1F

На рис. 1.17 показаны

п

_{i+1, F}

еремещения от

м

_2F

аксимума сосредоточенной

д

_nF

инамической нагрузки F(t).

Они обозначены _iF – по ха-

рактеру воздействия.

Аналогично находятся

п

Рис. 1.17

еремещения от ампли-

туд других заданных воздей-

ствий, представленных на рис. 1.14, – нагрузки q(t) и смещения опоры (t). Их можно обозначить _iq и _i , а соответствующие функции времени – _q (t) и _ (t).

Подстановка ( 1.10 ) и ( 1.11 ) в ( 1.8 ) дает уравнение

y_i (t) = + ( 1.12 )

Записывая уравнение ( 1.12 ) для всех степеней свободы от 1 до n , получаем систему из n уравнений, содержащих 3n не-известных – функций перемещений y (t), инерционных сил J(t) и диссипативных сил F_D (t)^*). Если учесть, что к ( 1.12 ) следует присоединить уравнения ( 1.2 ) и ( 1.3 ), то в целом уравнений оказывается достаточно для определения всех неизвестных. Целесообразно в качестве основных неизвестных выбирать функции какого-нибудь одного типа – y (t), J(t) или F_D (t). Но по-скольку во многих случаях динамические расчёты выполняются в пренебрежении рассеянием энергии, т. е. без диссипативных сил, то остаются два актуальных варианта выбора основных неизвестных – перемещений y (t) или сил инерции J(t).

масс:

В первом варианте выражения силовых факторов J(t) и F_D (t) подставляются в ( 1.12 ), в результате чего получается систе-ма дифференциальных уравнений движения в перемещениях

y_i (t) = + ( 1.13 )

или, после переноса в левую часть слагаемых, содержащих про-изводные функций перемещений масс, с сохранением в правой части известных ( заданных ) функций времени:

+ y_i (t) = ( 1.14 )

Полученные уравнения – неоднородные линейные диффе-ренциальные, второго порядка относительно искомых функций перемещений масс, причём с постоянными коэффициентами ( ес-ли считать массы системы и коэффициенты неупругого сопро-тивления движению неизменными во времени ). Вопросы их ре-шения в математическом аспекте достаточно подробно и глу-боко изложены в научной и учебной литературе, в частности, в [ 1, 2 ]; некоторые сведения об этом будут приведены в других параграфах.

Вариант с использованием сил инерции J(t) в качестве ос-новных неизвестных получается двойным дифференцированием

^*) Здесь и иногда далее термины «инерционные силы (или силы инер-ции)» и «диссипативные силы» используются для краткости как экви-валенты «инерционных и диссипативных силовых факторов».

уравнений ( 1.14 ) и учётом ( 1.2 ):

+J_i (t) = –. (1.15)

Сразу заметим, что при решении в этом варианте возникают сложности с функциями (t), не имеющими вторых производных ( например, кусочно-посто-

янными – см. табл. 1.1 ) и разрывными.

Обратим внимание на то, что и в ( 1.14 ), и в ( 1.15 ) влия-ние диссипации отражается в членах уравнений с нечётной ( пер-

вой ) производнойили

Наконец, запишем систему ( 1.14 ) в развёрнутом виде, раскрывая 1-е, произвольное i-е и последнее n-е уравнения:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1.14*)

Аналогично может быть расписана и система ( 1.15 ).