Дополнительные сведения о собственных векторах j и y

и главных формах

1. Если основные неизвестные J однотип- ные (только силы или только моменты), то собственные векторы _J и _y - безразмер-ные. Если же среди J есть величины, от-личные по физическому смыслу от J_k , при-нятого в качестве ведущего, то соответст-вующие компоненты векторов_J и _y будут размерными. Например, если J_k – сила инерции, а J_i – инерционный момент, то раз-мерность _Ji будет [длина], а _yi - [длина^-1] (при этом размерность a_i – [длина²] ).

2. Вместо того, чтобы вычислять _J по (1.57), можно формально присвоить J_k ка-кое-либо совершенно произвольное конк-ретное значение, например, 1 кН или 20 Н, что, по сути, означает введение началь-ного условия J_k(0) = 1 кН (или J_k(0) = 20 Н). Тогда и все остальные силы инерции будут иметь реальные значения. Но для их на-хождения всё равно придется применить уравнения типа (1.57), правда, со столбцом свободных членов, имеющим в качестве множителя назначенное значение J_k. За-тем вычисляется вектор перемещений (в реальных единицах измерения) как y = =  a ^–1J. Этот прием, хотя и может быть привлекательным из-за своей большей «физической осязаемости», все же не дает никакого выигрыша в сравнении с отыска-нием собственных векторов _J и _y в от-носительных величинах.

Заметим, что на этом ( заключительном ) этапе расчета физически некорректно за-давать, как это иногда делается, безраз-мерное единичное значение J_k (или y_k), что формально приводит к отождествлению век-торов J и _J , y и _y, – не следует забывать, что компоненты J и y – размерные, хотя и не определенные в числах, величины.

3. При небольшом числе степеней свобо-ды масс по одному лишь вектору переме-щений _y бывает затруднительно получить с нужной точностью схему деформаций (форму колебаний) более или менее слож-ной системы. Детальное изображение гла-вной формы может быть построено, если по схеме рис. 1.23 определить перемеще-ния достаточного числа точек системы, рассматривая J₁, J₂, ..., J_n как «нагрузки», выраженные через общий параметр в виде J_i =_Ji J_k .

4. Главные формы колебаний при более высоких частотах – более сложные (в них схема деформаций системы имеет больше узлов, точек перегиба и пучностей), чем при низких частотах.

5. Знание главных форм помогает выби-рать эффективные конструктивные меры уменьшения динамических эффектов в сооружении.

Система ( 1.56*) записана при

отброшенном последнем уравнении

( 1.9 ). Редуцированная квадратная

матрица (порядка n – 1) коэффициен-

тов не содержит столбца

[ _1k _2k ... _{n – 1, k} ] ^т, который превраща-

ется в вектор свободных членов

из-за того, что _Jk = 1.

Решение ( 1.56*) дает вектор

_{J(j), red} = – ()^–1 , ( 1.57 )

вставив в который 1 в k-ю позицию,

получаем полный собственный век-

тор сил инерции _J(j). По нему с по-

мощью матрицы относительных

масс далее вычисляется собствен-

ный вектор перемещений

_y(j) = a ^–1_J(j) , ( 1.58 )

характеризующий относительные

( выраженные через y_k 0 ) переме-

щения масс системы в j-й главной

форме колебаний с частотой _j .

Вычисление собственных век-

торов_J(j) и _y(j) выполняется n раз –

для каждой из частот _j ( j = 1, 2, ..., n).

Некоторые компоненты векто-

ров _J и _y могут получаться отри-

цательными – это означает, что ис-

тинное направление соответствую-

щей силы инерции или перемеще-

ния противоположно показанному

на расчётной схеме ( рис. 1.23 ).

Главные формы колебаний об-

ладают свойством ортогональности,

которое физически выражается в ра-

венстве нулю возможной работы сил

инерции некоторой главной формы на перемещениях масс в любой другой главной форме. Математически свойство ортого-нальности записывается как

= 0, ( 1.59 )

где j и s – номера главных форм ( js ),

или в амплитудах сил инерции и перемещений:

= 0 . ( 1.59*)

Условие ортогональности может быть выражено через соб-ственные векторы инерционных сил и перемещений в любом из трёх следующих вариантов:

= 0 (а), = 0 (б), = 0 (в). ( 1.60 )

1.5.4.3. Проверка результатов расчёта на собственные колебания

Контроль правильности полученных данных о главных формах собственных колебаний рассматриваемой системы со-стоит из трёх основных частей:

1) собственно динамическая проверка, заключающаяся в

 качественном анализе главных форм колебаний на предмет

отсутствия противоречий геометрии, связям и распределе-

нию жёсткостей заданной системы;

 количественной оценке выполнения условий ортогонально-

сти ( 1.60 );

2) статическая проверка – контроль равновесия ( по Д’Аламберу )

узлов ( в том числе точек расположения масс ), отсечённых частей и системы в целом при найденных амплитудах инерционных сил и соответствущих им силовых факторах в системе;

3

Здесь j – номер эле-мента (участка) или уп-ругой связи (не путать с номером формы ко-лебаний);

u – число упругих свя-зей.

) кинематическая проверка, заключающаяся в сопоставлении значений перемещений y_i ( i = 1, 2, ..., n ), вычисленных для любой главной формы по двум разным формулам:

y_i = J_i /(²)J_i _/a_i ( 1.61а )

и y_i =+, ( 1.61б )

первая из которых получается из закона инерции, записанного для случая собственных колебаний в форме ( 1.30 ), а вторая – по

методу Максвелла – Мора, где S_i и R_j,i – усилия в элементах сис-темы и реакции ее упругих связей от J_i = 1; S_J и R_{j, J} – то же, от сил инерции рассматриваемой главной формы:

; . ( 1.62 )

Так как числовые значения сил инерции неизвестны, то используются их выражения через компоненты собственного вектора _J и ведущий параметр J_k в виде J_i = _Ji J_k , тогда после деления ( 1.61а ) и ( 1.61б ) на J_k и учета ( 1.58 ) формула кинематической проверки принимает вид

_yi = (?) = +, ( 1.63 )

г

 Вычисление интегралов в ( 1.63 ) выполняется известными способами ( «перемножением эпюр» по правилу Верещагина или с помощью форму-лы Симпсона, аналитически или чи-сленно, в т. ч. с применением ЭВМ ).

 Для плоских стержневых систем с преобладающим изгибом первое сла-гаемое в правой части ( 1.63 ) упроща-ется:

=

где .

 Вместо S_i и R_j,i в формуле ( 1.63 ) ( но не ( 1.64 ) ! ) можно использовать S_i^o и R_j,i^o – усилия и реакции упругих

связей от J_i =1 в любой статически определимой системе, полученной из заданной удалением лишних связей.

де

; ( 1.64 )

Знак (?) в ( 1.63 ) символизирует

необходимость проверки равенства ве-

личин, записанных в левой и правой

частях.

Кинематическая проверка в динамических

расчётах с использованием канонических урав-

нений в амплитудах сил инерции имеет такой

же смысл и значение, как в классическом мето-

де сил – контроль выполнения требований, из-

начально сформулированных основными урав-

нениями задачи, при силовых факторах, полу-

ченных в результате расчета.

Силовые факторы и , вы-

численные по ( 1.64 ), используются,

кроме кинематической проверки, также в вышеописанной стати-ческой проверке вместе с инерционными силами, принимаемы-ми равными компонентам собственного вектора _{J(j) .}

Следует понимать, что в практических расчётах проверка ортогональности главных форм позволяет проконтролировать правильность лишь тех вычислительных процедур, которые вы-полняются после формирования матрицы . Ошибки в самой матрице проверкой ортогональности не выявляются. Объясня-ется это тем, что ошибочная для заданной системы матрица может быть истинной для некоторой другой ( неизвестной нам ) системы, к которой и относятся все полученные результаты.

В некоторых случаях явные ошибки в определении форм собственных колебаний могут обнаруживаться даже без точных вычислений. Например, если среди полученных в результате расчёта оказы-

ваются две формы, изображённые на рис. 1.24,

то можно сделать заключение о том, что хотя

бы одна из них неверна, так как в обеих формах

все силы инерции и перемещения направлены

в одну и ту же сторону и, следовательно, воз-

можная работа указанных сил на соответствую-

щих перемещениях положительна, т. е. не рав-

на нулю. Очевидно, что ошибочна вторая фор-

м

Рис. 1.24

а, поскольку первая форма качественно прав-

доподобна.

В заключение обратим внимание на последствия возмож-ных ошибок в определении числа степеней свободы масс системы:

 Ошибка в сторону занижения числа степеней свободы, когда некоторые из них остаются необнаруженными, приводит к искажению всех результатов: мало того, что несколько частот и главных форм оказываются «потерянными», но и те, что опре-деляются, неверны. Физически это можно объяснить тем, что неучёт некоторых степеней свободы означает уменьшение обоб-щенной динамической податливости системы ( и увеличение жёсткости ), следствием чего является завышение частот собст-венных колебаний.

 Завышение числа степеней свободы, происходящее из-за того, что остаются невыявленными зависимости между некоторыми составляющими перемещений масс ( в сложных системах уста-новить эти зависимости иногда бывает затруднительно ), не ска-зывается на результатах расчета. Правда, порядок системы канонических уравнений ( 1.51 ), степень характеристического уравнения и число его корней получаются больше, чем в дейст-

вительности, но «лишние» собственные числа _j оказываются равными нулю ( а соответствующие им частоты _j – бесконечно

большими ). Это свидетельствует о фактическом наличии абсо-лютно жестких связей между массами, которые не были обнару-

жены при определении числа степеней свободы. Естественно, эти «лишние» частоты не принимаются во внимание.

В практических расчетах из-за округлений возможно получение не нулевых, а очень малых конечных значений  и соответственно очень больших частот . Разница в порядках этих и остальных ( реаль-ных ) величин зависит от точности вычислений и требует анализа.

Таким образом, завышение числа степеней свободы в сравнении с истинным

значением неопасно, а занижение приводит к ошибочным результатам.

Дополнительные сведения по этому вопросу можно найти в п. 1.6.

На рис. 1.25 представлен общий алгоритм расчета системы с конечным числом степеней свободы на собственные колеба-ния – с комментариями и рекомендациями по основным про-цедурам алгоритма. Дополнительные методические соображе-ния, касающиеся некоторых вопросов техники расчета, приве-дены в главе 3.