О Г Л А В Л Е Н И Е

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ

РАСЧЁТОВ ДЕФОРМИРУЕМЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ

ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МАСС . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1. Термины, понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Основные символы и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Предпосылки и гипотезы динамического расчёта.

Принципиальная расчётная модель деформируемой

системы с сосредоточенными массами . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Степени свободы масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. Уравнения динамики деформируемых систем

с конечным числом степеней свободы масс . . . . . . . . . . 24

1.5.1. Уравнения для общего случая движения . . . . . . . . 26

1.5.1.1. Использование матрицы податливости

системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.1.2. Уравнения движения с матрицей жёсткости

системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.2. Систематизация и анализ вариантов уравнений

динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.3. О численном решении уравнений динамики

систем с конечным числом степеней

свободы масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.5.4. Свободное движение и собственные колебания . . 49

1.5.4.1. Уравнения свободного движения, их

решение; случай собственных колебаний . . . 49

1.5.4.2. Характеристическое ( частотное ) уравнение;

спектр частот; главные формы колебаний,

их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.5.4.3. Проверка результатов расчёта

на собственные колебания . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.5.4.4. Расчёт на собственные колебания по

уравнениям в форме метода перемещений . . 62

1.5.5. Вынужденное движение; установившиеся

колебания от вибрационных воздействий . . . . . . . 68

1.6. Обобщённые перемещения, группировка неизвестных

и учет симметрии в динамических расчётах . . . . . . . . . 79

1.7. О приближённом определении частот собственных

колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2. некоторые инженерные приложения

динамики систем с конечным числом

степеней свободы масс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.1. Кинематическое возбуждение движения деформируе-

мой системы. Основы расчёта на сейсмические

воздействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.2. Понятие об аэроупругости и расчётах сооружений

на ветровые нагрузки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.3. Защита сооружений и конструкций от динамических

воздействий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЁТОВ

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ

СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ . . . . . 130

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5. РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ДИНАМИКЕ СТЕРЖНЕ-

ВЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ

СВОБОДЫ МАСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.1. Содержание расчётного задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.2. Варианты исходных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

ПРИЛОЖЕНИЕ . Динамические расчеты с использованием

уравнений, записанных для основных систем классических

методов строительной механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

В В Е Д Е Н И Е

Необходимость обеспечения надёжности, долговечности и безопасности сооружений при динамических воздействиях при-обретает особую актуальность в современном строительстве.

С одной стороны это обусловлено свойствами самих зданий и сооружений ( большими пролетами и высотами, применением в несущих конструкциях тонкостенных высоконапряжённых элементов и др.), усложнением условий их эксплуатации, повы-шением требований безопасности. С другой стороны – расши-ряется номенклатура природных и техногенных динамических воздействий; становится всё более значительным влияние таких факторов, как нагрузки и вибрации от скоростного большегруз-ного наземного и подземного транспорта, ударные волны от больших самолетов, аэродинамические эффекты взаимодейст-вия высотных объектов ( многоэтажных зданий, башен, антенн, мачт ) и большепролётных сооружений ( мостов, крупных спор-тивных комплексов и др.) с воздушными потоками, нагрузки на промздания от мощного технологического оборудования и тяжё-лых мостовых кранов. Строительство в зонах сейсмической ак-тивности и опасности цунами при ужесточении норм сейсмо-стойкости также стимулирует совершенствование динамичес-ких расчётов. Сложные инженерные вопросы возникают при со-здании устройств защиты сооружений от опасных динамичес-ких воздействий и при разработке систем управления динами-ческим состоянием несущих конструкций.

О практической значимости и необходимости понимания сущности проявлений динамики в строительных объектах на всех стадиях их жизненного цикла – от проектирования до возведе-ния и эксплуатации – наиболее убедительно свидетельствуют, к сожалению, крупные аварии и катастрофы последних десятиле-тий в разных странах, являющиеся следствием либо отсутствия необходимой прогнозной информации и проектных ошибок, либо нарушений эксплуатационных требований безопасности: от раз-рушительных природных явлений ( землетрясений и цунами ) в Армении ( 1988 ), Индонезии ( 2004 ), Чили ( 2010 ), Японии ( 2011) до тяжёлой техногенной аварии на Саяно-Шушенской ГЭС ( 2009 ) и угрожающих аэроколебаний моста в Волгограде ( 2010 ).

Основными задачами динамических расчётов сооружений являются:

1. определение частот и форм собственных колебаний в целях

• недопущения возникновения резонансных явлений в конст-рукциях;

• определения расчётных параметров сложных динамических воздействий ( сейсмических, аэродинамических и др.);

• расчёта устройств защиты от динамических воздействий ( гасителей колебаний, виброизоляции, сейсмозащиты и т.п.);

2) выявление законов изменения во времени перемещений, скоростей и ускорений точек сооружения, а по ним – парамет-ров напряжённо-деформированного состояния ( НДС ) конструк-ций и их экстремальных значений – для обеспечения динами-ческой прочности ( в том числе выносливости ), жёсткости и ус-тойчивости сооружения в целом и его частей, а также для пред-отвращения вредных ударных и вибрационных воздействий на людей.

Базовыми методами решения задач динамики сооружений являются кинетостатический и энергетический. В данном пособии рассматриваются, с применением кинетостатического метода, вопросы динамики линейно деформируемых систем с сосредоточенными массами ( имеющими конечное число степе-ней свободы ) при гармонических колебаниях – собственных и вынужденных, а также при воздействиях негармонического характера. Массы реальных сооружений распределены по объё-му – их можно рассматривать как совокупность бесконечно большого числа элементарных ( бесконечно малых ) масс, число степеней свободы которых бесконечно велико. Однако, «соби-рая» ( сосредоточивая ) массы в конечном числе точек и соответ-ственно приходя к конечному числу степеней свободы, можно с приемлемой точностью выполнять динамический расчёт по более простым уравнениям ( алгебраическим вместо дифферен-циальных по координатам точек ).

Основное внимание в пособии уделено решению задач о гармонических колебаниях деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс, так как методика и результаты решения задач этого типа не только имеют прикладное инже-

нерное значение, но и позволяют ( в соединении с методами гар-монического анализа ) рассматривать более сложные случаи дви-жения – при сейсмических, ударно-циклических и других дина-мических воздействиях. Рассматриваются примеры расчётов плоских стержневых систем, но принципиальные расчётные по-ложения и процедуры будут аналогичными и для более слож-ных объектов ( пространственных и комбинированных, в том числе пластинчато-оболочечных ).

Теоретические сведения, традиционно излагаемые в учеб-ной литературе с достаточной полнотой, далее даются тезисно, зато больший акцент сделан на физической сущности величин и явлений, а также на вопросах, обычно вызывающих трудности при освоении теории.

1. Основные положения теории динамических расчётов деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс

1.1. Термины, понятия и определения

• Система ( механическая система ) – в динамике сооружений – обобщённое название расчётной модели конструкции, соору-жения, рассматриваемых в движении.

• Консервативная динамическая система – механическая систе-ма, в процессе движения которой не происходит необрати-мого рассеяния ( диссипации ) энергии.

Энергия рассеивается, как правило, в тепловой форме – за счёт внутреннего и внешнего трения, в том числе неупругого сопротивления окружающей среды.

• Инерция ( инертность ) – свойство материального тела, прояв-ляющееся в сохранении движения, совершаемого им при от-сутствии действующих сил, и в постепенном изменении этого движения с течением времени, когда на тело начинают дейст-вовать силы [ 12 ].

^*) Идеальная безмассовая (безынер-ционная) система мгновенно реагиро-вала бы на изменения воздействий, и в любой момент движения внешние и внутренние силы в ней (активные и ре-акции связей) были бы уравновешены.

^**) При гипотетическом отсутствии дис-сипации энергии будут происходить непрекращающиеся колебания около положения равновесия.

В деформируемых геометрически не-

изменяемых системах ( сооружениях, кон-

струкциях ), обладающих массой, инерция

проявляется в запаздывании реагирова-

ния на воздействия, вынуждающие дви-

жение^*), а при отсутствии таковых после

приведения системы в движение – в по-

степенном приближении её к состоянию

равновесия^**).

• Масса – характеристика материального объекта, являющаяся мерой его инертности и гравитации [ 10, 12 ].

• С

  l

  осредоточенная масса – материальный

объект, обладающий определённой мас-

с

s_m

ой, размеры которого вдоль оси стерж-

невого элемента или в срединной по-

в

b_m

ерхности / плоскости оболочки / пласти-

н

a_m

l₂

ки много меньше их габаритных разме-

р

l₁

ов: s_m << l ; a_mb_m << l₁l₂

( s_m0 ; a_m , b_m0 ).

• Точечная масса – сосредоточенная масса, все размеры кото-рой бесконечно малы.

• С

  Число степеней свободы n зависит от принимаемых в расчёте допущений.

  Например, учет инерции вращения

  неточечных масс увеличивает n, а пренебрежение продольными дефор-мациями элементов рамных и т.п. систем уменьшает.

  тепени свободы масс – независи-

мые геометрические параметры,

полностью определяющие положе-

ние масс системы в произвольный

момент движения.

В качестве степеней свободы, как правило, выступают независимые линейные и угловые перемещения масс.

• Динамические воздействия – это различные по физической природе ( силовые, кинематические и пр. ) воздействия, изме-няющиеся во времени по значению и / или направлению либо месту приложения и сообщающие массам системы ускорения, влиянием которых на её напряжённо-деформированное состо-яние нельзя пренебрегать ( при требуемой точности расчёта ) в сравнении с влиянием других, неизменных во времени, воз-действий на данную систему.

На рис. 1.1 и в табл. 1.1 представлена классификация основных видов динами-ческих воздействий. Под символом F(t) можно понимать как вынуждающую силу, так и характеристику кинематического возбуждения движения системы.

Признаки классификации динамических воздействий
По проис-хождению	По физичес- к силовые (нагрузки) кинематиче- ские (смеще- ния связей) другие (элект- ромагнитные и пр.) ой природе	По положению области воздейст- с подвижные неподвижные твия на сооружении	По длитель- ности воздействия	По характеру изменения в импуль- сивные внезапные по сложно- му закону гармони- ческие о времени

длитель-ные

кратковре-менные

Рис.1.1

Таблица 1.1

Основные виды динамических воздействий по признаку изменения во времени

Виды воздействий		А F(t) F(t) п е р и о д и ч е с к и е	П F(t) 0 F(t) е р и о д и ч е с к и е
П р е р ы в и с т ы е	Импульсивные ( ударные и др.)	F(t) t F(t) t t t 0 t 0 t1 t2 t1 t2	F(t) t t 0 t t t TF TF t t t TF TF TF TF TF
	Внезапно приложенные и внезапно исчезающие	0 0 F F F(t)	0 TF T0 T0 T0 F(t) TF
	Изменяющиеся по сложному закону	t 0 F(t)	t 0 F(t) TF TF TF T0 T0 T0
Н е п р е р ы в н ы е		t 0	t 0 F(t) TF TF TF TF
	Гармонические ( вибрационные ) F(t)=F sin (F t +0)	Н е с у щ е с т в у ю т	t 0 F F TF TF TF TF = 2/F

• Свободное движение – движение системы, выведенной из со-стояния равновесия, происходящее в отсутствии динами-ческих воздействий.

Примечание: свободное движение обусловлено начальным запасом механи-ческой энергии и происходит по инерции.

• Вынужденное движение – движение механической системы в то время, когда к ней приложены динамические воздействия.

Иллюстрация понятий свободного и вынужденного движений дана на рис. 1.2.

F (t)

F (t)

t

0

y (t)

y (t)

t

0

Вынужденное

движение

Вынужденное

движение

Свободное

движение

Рис. 1.2

• Колебания ( механические ) – частный случай движения, характеризующийся определённой повторяемостью во вре-мени параметров НДС системы.

• Периодические колебания – колебания, при которых значе-ния некоторого ( любого ) параметра Р(t) напряжённо-дефор-мированного состояния системы в точности повторяются через один и тот же промежуток времени Т, называемый пери-одом колебаний: P(t) = P( t + k T ), где k – любое целое число.

• Гармонические колебания – колебания, при которых динами-ческие составляющие параметров НДС системы изменяются во времени по единому гармоническому закону ( синуса или косинуса ) с аргументом, линейно зависящим от времени.

• Затухающие колебания – колебания с уменьшающимися во времени амплитудами перемещений.

Затухающими обычно бывают свободные колебания, затухание которых проис-ходит вследствие диссипации ( рассеяния ) начального запаса механической энер-гии системы, преимущественно за счёт внешнего и внутреннего трения.

• Частота колебательного процесса – количество циклов коле-баний за стандартный промежуток времени:

– количество полных циклов колебаний в единицу времени называется технической частотой колебательного процесса; единица измерения в системе СИ – герц ( Гц – 1 цикл в сек . );

–

^*) В технической, научной и учебной литературе встре-чается также термин «кру-говая частота», но в [ 13 ] он не рекомендуется к ис-пользованию.

угловая^*) частота – количество циклов

колебаний за 2 единиц времени ( приме-

няется, как правило, для гармонических

колебаний ); единица измерения в систе-

ме СИ – с ^{– 1} ( радиан в секунду ).

• С

  При собственных колебаниях оси деформированных стер-жней или срединные поверх-ности пластинчато-оболочеч-ных элементов образуют сто-ячие волны, описываемые условием подобия

  y_i (t) / y_k (t) = y_i / y_k = const

  ( рис. 1.3 ).

  обственные колебания – частный случай

свободного движения, характеризующий-

ся синфазным моногармоническим движе-

нием всех масс системы ( т. е. гармоничес-

ким движением масс с одной общей час-

тотой и в одной фазе ):

k

y_i (t)

y_i (t) = y_i sin (  t + ₀ ), i = 1, 2, ..., n. ( 1.1 )

y_i (t)

y_k

y_i

y_k

y_i

t

0

y_i

y_k

i

y_k (t)

Рис. 1.3

• Спектр частот – совокупность частот собственных колебаний системы, выстроенных в порядке возрастания их числовых значений.

• Главная форма колебаний – определенный вид стоячих волн, образуемых осевыми линиями или срединными поверхностя-ми элементов системы при собственных колебаниях с неко-торой частотой.

• Установившееся движение – вынужденное движение системы после того, как произошло затухание совокупности собствен-ных колебаний, возбужденных в ней заданным воздействием, до пренебрежимо малых величин.

• Переходный процесс – вынужденное движение системы, сопровождающееся её собственными колебаниями в период затухания последних.

• Р

  Частота воздействия, дающая максимум резонанса ( резонансная частота ), со-впадает с частотой собственных колеба-ний лишь при отсутствии диссипации энергии – в этом случае перемещения и силовые факторы в системе возрастают неограниченно.

  При реальных для строительных конст-рукций характеристиках неупругого сопро-тивления среды и внутреннего трения мо-жно не делать различия между резонанс-ной частотой и частотой собственных коле-баний, т. е. принимать в качестве условия резонанса равенство частот _F =  .

  езонанс ( механический ) – явле-

ние, состоящее в резком увеличе-

чении амплитуд параметров НДС

механической системы (переме-

щений, усилий, напряжений, де-

формаций ) при приближении ча-

стоты вынуждающих воздейст-

вий к частоте собственных коле-

баний системы.

• Сила инерции – это векторная величина, модуль которой ра-вен произведению массы на модуль её ускорения и направ-ленная противоположно этому ускорению [ 10, 12 ].

Силы инерции не являются физческими силами [ 11 ] и реально не существуют.

В динамике сооружений силы инерции ( в более общем смысле – инерционные силовые факторы ) – это силовые фак-торы ( силы и моменты ), при условном приложении которых к деформируемой системе ( или её массам ) в дополнение к вынуждающим ( активным ) силам и реакциям связей система в любой момент движения может формально рассматривать-ся как находящаяся в состоянии статического равновесия.

• К

  ^*) Если к заданным ( активным ) силам, действующим на точки механической системы, и реак-циям наложенных связей присо-единить силы инерции, то полу-чится уравновешенная система сил [ 10 ].

  J.L. D’Alembert, 1717 – 1783

  инетостатический метод в динамике сооружений – метод, основанный на использовании принципа Д’Аламбера^*) и заключающийся в замене исход-

ной динамической задачи услов-

ной задачей на исследование рав-

новесия системы с дополнительно

приложенными к массам инерцион-

ными силовыми факторами.

• Динамический коэффициент^**) – отношение амплитуды неко-торой величины ( перемещения, усилия, напряжения и др. ) при гармонических вынужденных колебаниях к значению этой величины от условного статического воздействия, рав-ного амплитуде силового или кинематического гармоничес-кого ( вибрационного ) возбуждения.

Различают динамические коэффициенты по перемещениям, ускорениям, усилиям, напряжениям и др.

^**) Используется также термин «коэффициент динамичности» и обозначение К_дин [ 13 ] .