2. Некоторые инженерные приложения динамики систем с конечным числом степеней свободы масс

Как указывалось во введении, обеспечение надёжности и безопасности сложных инженерных систем, каковыми являются современные сооружения, здания и строительные конструкции, при динамических воздействиях, различных по происхождению, природе и характеру изменения во времени, становится всё бо-лее актуальной задачей.

Причиной возникновения динамических эффектов может быть непосредственное механическое взаимодействие строите-льной системы с другими объектами, результат которого, как правило, проявляется в виде силовых динамических воздействий на здание, сооружение, конструкцию. Количественные характе-ристики некоторых из них ( падение груза, вибрационные и ударные нагрузки от установленных на несущих конструкциях машин и оборудования и др. ) определяются достаточно просто. Для описания других может потребоваться анализ процесса вза-имодействия источника и объекта динамических возбуждений ( например, при обтекании здания или соружения потоком ветра, при гидродинамических воздействиях и др.). После определения исходных параметров динамических нагрузок расчёт выполня-ется по уравнениям, рассмотренным в главе 1.

Особую группу составляют задачи динамики, где воздей-ствие от источника возбуждения передаётся на опоры ( фунда-менты ) здания или сооружения опосредованно – через грунто-вое основание или другие конструкции, на которые опирается рассчитываемый объект. В этом случае воздействие относится к категории кинематических ( смещений опорных связей ). Их ис-точники могут быть природными ( землетрясения и т.п. ) и тех-ногенными ( от наземного и подземного транспорта, уплотнения грунта ударным трамбованием, забивки свай, взрывов, работы машин и механизмов – станков, энергоагрегатов и др. ).

Важной инженерной проблемой является уменьшение эффектов динамических воздействий на здания, сооружения и конструкции.

Некоторые из указанных прикладных задач динамики рас-смотрены в этой главе на уровне понятий и представлений, без обсуждения вопросов конструктивно-технологического харак-тера.

2.1. Кинематическое возбуждение движения деформируемой системы. Понятие о расчёте на сейсмические воздействия

а) б)

Простой случай кинематического воздействия – движение опорного колеса некоторого движу-

щегося объекта ( например, мосто-

в

(x)

(t)

ого крана ) по поверхности задан-

н

x

ого профиля  (x) – рис. 2.1, а.

Рис. 2.1

Если объект движется с по-

cтоянной скоростью V_x , то x = V_x t ,

тогда изменение смещения опоры во времени будет (t) = (x/V_x), что и используется в расчётной модели по рис. 2.1, б. Далее ди-намический расчёт выполняется по любому из вариантов уравне-ний, представленных в табл. 1.2 ( рациональный – 1Б ).

Более сложным является случай, когда источник кинема-тического возбуждения не имеет непосредственной связи с рас-считываемой системой, а оказывает влияние на неё опосредован-но ( например, через грунтовую среду ). Схема, представленная на рис. 2.2, иллюстрирует механизм возникновения такого рода кинематических воздействий на сооружение. Источник возбуж-дения, например, центр ( очаг )

з

L

емлетрясения, туннель метро-

политена, путь рельсового транс-

п



H₀

орта может быть подземным

(

Рис. 2.2

) или наземным ( H₀ = 0 ).

От него к рассматриваемому объ-

екту приходят волны^*) деформации грунтовой среды, воздейст-вующие на фундамент здания подобно тому, как волны жидко-сти – на плавающее в ней тело.

^*) Представление о волновом характере динамических процессов имеет принципиальное значение. В [ 1, с. 216 ] справедливо утверждается, что «Вообще говоря, любая динамическая задача есть задача волновая».

Принято различать три основных типа волн деформаций ( перемещений ) в твёрдых средах – продольные ( сжатия – растяжения в направлении от очага ), поперечные ( или волны сдвига ) и поверхностные волны Рэлея. Основное значе-ние имеют первые два типа волн, которые на удалении от источника ( L >> H₀ ) дают соответственно горизонтальные и вертикальные перемещения у поверхности.

Заметим, что скорость распространения продольных волн близка к скорости звука в рассматриваемой среде ( грунте ) и измеряется километрами в секунду. При этом она в среднем в 1,7 раза превышает скорость распространения поперечных волн.

Движение объекта как результат взаимодействия среды-проводника и объекта в волновом процессе – зависит, во-первых, от амплитудных и спектральных ( частотных ) характеристик волн, а во-вторых, от инерционных, жесткостных и демпфирую-щих свойств сооружения и грунта. Следовательно, корректная расчётная модель должна включать в себя и рассматриваемую систему, и некоторую окружающую грунтовую область ( в об-щем случае пространственную ).

Подчеркнём, что учёт совместной работы сооружения и основания, при-знанная необходимость которого реализуется в практике проектных расчётов при статических воздействиях, ещё более актуален в расчётах на динамические воздействия, где, кроме характеристик деформативных / жесткостных свойств фундаментов и грунта, следует включать в расчётную схему также параметры соответствующих масс ( существует термин «присоединённая масса грунта», вовлечённого в общее с сооружением движение ).

Принципиальная модель с использованием конечно-эле-ментного представления основа-

ния может выглядеть так, как по-

к

₁ (t)

₂ (t)

азано на рис. 2.3. Размеры учи-

т

1

2

ываемой области грунтовой сре-

ды должны назначаться такими,

чтобы на фронте 1-1 набегающей

волны деформации и за сооруже-

нием ( по 2-2 ) влияние объекта

к

1

2

₃ (t)

ак препятствия продвижению

волны было бы пренебрежимо

м

Рис. 2.3

алым. Технические вопросы оп-

ределения этих размеров здесь не

обсуждаем. Современные компьютерные программы для дина-мических расчётов по МКЭ позволяют учитывать массы элемен-тов грунтового основания как распределённые, но можно сосре-доточивать их в узлах, получая расчётную модель с конечным чи-слом степеней свободы масс. Перемещения ₁ (t) , ₂ (t) и ₃ (t) на границах расчётной области при сейсмических и подобных им воздействиях задаются по сейсмограммам – записанным спе-циальными приборами ( сейсмографами ) графикам перемеще-ний земной поверхности при землетрясениях, ранее происходив-ших в месте расположения проектируемого объекта. При упомя-нутых выше скоростях распространения сейсмических волн и их длинах, обычно существенно превышающих размеры зданий и сооружений, можно принимать ₁ (t) = ₂ (t) ^*). Решение дина-мической задачи для конечно-элементной модели строится по уравнениям в форме метода перемещений ( 1А из табл. 1.2 ).

Вместо сейсмограмм в качестве исходной информации о землетрясениях могут использоваться акселерограммы – при-борные записи графиков изменения ускорений . В этом слу-чае возможно использование уравнений в форме 2Б ( табл. 1.2 ). Для расчёта по уравнениям 1А предварительно необходимо по акселерограммам предварительно получить выражения переме-щений  (t).

m

Для качественной иллюстрации влияния на динамическое поведение системы «сооружение – основание» жесткостных и инерционных характеристик обоих компонентов системы рас-смотрим обобщённую модель по рис. 2.4,

в

J₂ (t)

которой m и EI символизируют свойства

деформируемой конструкции, обладающей

с

EI

l

обственной массой, а с₀ и m₀ описывают

р

 (t)

асчётную жёсткость и суммарную массу

ф

J₁ (t)

m₀

ундамента и присоединённой массы грун-

т

c₀

а ( методику вычисления с₀ и m₀ не затра-

гиваем ).

Частоты собственных колебаний сис-

темы определяем из уравнения Det ( Рис. 2.4

=

₂₂ = ₁₁ + l³/(3EI).

, где ₁₁ = ₁₂ = ₂₁ = 1/c₀ ;

^*) Для большепролётных сооружений задаётся ₂ (t) = ₁ (t – t_L), где

t_L = L_1–2 / V_w ( L_1–2 – расстояние между расчётными плоскостями 1-1

и 2-2 ( рис. 1.55 ); V_w – скорость распространения волны ). Равномер-

ное распределение ₃ (t) заменяется на неравномерное.

Используя безразмерные параметры  = c₀ /( m² ), k_m = m₀/m,

k_c = c₀ l³/(3EI), из частотного уравнения находим

Результаты вычисления частот собственных колебаний при различных соотношениях жёсткостей и масс частей системы «сооружение – основание» приведены в следующей таблице, где

d = ( 3EI / l³ ) ^1/2 .

kc	km
	0,5	2
1	1 = 1,1469 d; 2 = 3,6992 d	1 = 1,0021 d; 2 = 2,4193 d
5	1 = 1,5695 d; 2 = 6,0446 d	1 = 1,5250 d; 2 = 3,1104 d
10	1 = 1,6479 d; 2 = 8,1415 d	1 = 1,6354 d; 2 = 4,1019 d
	1 = 1,7321 d; 2 =

Полученные модельные данные свидетельствуют о том, что при высоких жёсткостях основания ( k_c > 10, чему соответствует менее чем 10 % -й вклад деформации основания в перемещение верхней массы ) учёт податливости и инерционных свойств гру-нта мало сказывается на частоте основного тона собственных ко-лебаний ( в пределах 5 … 6 % ), но сильно влияет на вторую ча-стоту. Качественно экстраполируя обнаруженный эффект на си-стемы с большим числом степеней свободы масс, можно пред-сказать, что традиционный подход к расчёту сооружения на сей-смические воздействия, в котором смещения по сейсмограмме задаются непосредственно опорам объекта ( при этом ни жестко-стные, ни инерционные свойства основания не играют никакой роли ), может давать значительные погрешности на высокочас-тотных составляющих спектра землетрясения. Это подтверждает обоснованность применения принципиальной расчётной схемы по рис. 2.3.

Выше рассмотрена методика сейсмического расчёта, осно-ванная на использовании реальных ( или некоторых модельных ) сейсмо- или акселерограмм. В отечественных нормах проекти-рования предписывается вычисление расчётных сейсмических нагрузок с помощью набора коэффициентов, количественно от-ражающих важнейшие аспекты динамических процессов, про-исходящих в сооружении при землетрясении ( разными коэффи-циентами характеризуются нормативная сейсмичность района строительства, категория грунта, конструктивные особенности и степень ответственности сооружения, допускаемый уровень по-вреждений ). Расчётом системы на собственные колебания нахо-дятся параметры главных форм, также используемые для вычис-ления сейсмических нагрузок, прикладываемых к сооружению как условные статические воздействия ( в д’аламберовом пони-мании ), от которых далее и определяются искомые динамичес-кие усилия в системе. Сейсмическая нагрузка, создаваемая мас-сой m_i при её движении по k-й главной форме, определяются как

( 2.1 )

где G_i = m_i g ( g – ускорение свободного падения );

А – коэффициент сейсмичности, задаваемый по расчётной

балльности места рас- 0,1 для 7 баллов,

расположения объекта: А = 0,2 –"– 8 баллов,

0,4 –"– 9 баллов;

K = K₁ K₂ K_ ( здесь K₁ = 0,12 …1 – коэффициент ответствен-

ности и допустимой повреждаемости здания или соору-

жения; K₂ = 0,5 …1,5 – коэффициент учёта конструктив-

ных особенностей объекта; K_ = 1 … 1,5 – коэффициент,

учитывающий демпфирующие свойства сооружения );

_ik – коэффициент формы колебаний с частотой _k ;



_k – нормативный коэффициент динамичности для k-й глав-

категории

грунтов

ной формы, определяемый

3

I

II

в зависимости от периода

2

III

колебаний T_k = 2_/ _k по а)

1

графикам ( рис. 2.5, а ), ко-

T, c

торые основаны на спект-

рах максимальных ускоре- 0 0,5 1 1,5 2

ний ( рис. 2.5, б ), получен-

ных в результате статисти- б)

T

ческой обработки большо-

го числа акселерограмм

реальных землетрясений. Рис. 2.5

Нормативная методика расчётов сооружений на сейсмиче-ские воздействия детально излагается во многих учебниках по динамике и строительным конструкциям ( отсылаем читателя, в частности, к [ 1 ] ).