1.5.5. Вынужденное движение; установившиеся колебания от вибрационных воздействий

Вопрос о получении общего решения задачи в случае вы-нужденного движения линейно деформируемой системы с ко-нечным числом степеней свободы при воздействиях, произволь-но изменяющихся во времени, обсуждён в п. 1.5.3. Здесь под-робнее рассмотрим случай вибрационного ( гармонического ) воз-действия. В его состав одновременно может входить любое чис-ло неизменных по месту приложения сосредоточенных нагру-зок F(t) и моментов M(t), распределённых нагрузок q(t) и смеще-ний связей (t), причём все компоненты силовых и кинемати-ческих воздействий изменяются во времени синфазно по одно-му закону sin(t) sin _F t , с общей заданной частотой _F и из-вестными амплитудами F, M, q и  ( рис. 1.27, а ): F(t) = F sin _F t ; M(t) = M sin _F t ; q(t) = q sin _F t; (t) =  sin _F t.

*) Важно осознать то, что любое возмущение, выводящее систему из состояния покоя, возбуждает её соб-ственные колебания, независимо от того, продолжает ли указанное воз-мущение действовать или сразу же исчезает.

Некоторое время от момента приложения внешних возму-щений движение масс системы имеет сложный характер, так как в нём присутствует наряду с состав-

ляющей, отражающей влияние задан-

ных воздействий, весь спектр собст-

венных колебаний^*). Этот этап движе-

ния системы называется переходным

процессом ( рис. 1.27, б показывает изменение перемещения не-которой массы, соответствующего i-й степени свободы.

Исследование напряжённо-деформированного состояния сооружения на стадии переходного процесса, когда возможно

возникновение значительных, но кратковременных «всплесков»

п

F(t)

еремещений, усилий

и

F

напряжений, требует

д

t

0

остаточно сложного

р

(t)

асчёта по общим ура-

внениям динамики ( см. . . . . . . . . . а) . . . . . . . . . . . . . . . .

п

t



.1.5.3 ).

0

Из-за сопротив-

л

y_i (t)

T

T

ения окружающей

с

t_i

t_i

t_i

реды и внутреннего

т

0

y_i

рения в системе про- б)

и

t

сходит затухание соб-

ственных колебаний

д

Переходный процесс Установившиеся колебания

о такого уровня, ког-

д

Рис. 1.27

а ими можно пренеб-

речь с допустимой по-

грешностью. После этого перемещения можно считать изменя-ющимися по гармоническому закону с той же частотой, что и за-данные воздействия – такое движение системы называется уста-новившимися вынужденными колебаниями при вибрационных воздействиях ( рис. 1.27, б ). Следует обратить внимание на то, что вследствие внешнего и внутреннего трения перемещения масс несинфазны изменениям воздействий, несколько отставая от них во времени ( на величину t_i ):

y_i (t) = y_i sin ( _F t – _i ) , ( 1.78 )

где _i = 2_ t_i / T = _F  t_i – разность фаз воздействий и переме-

щения y_i ; T = 2_/ _F – период цикла.

Ограничимся далее рассмотрением только установивших-ся вынужденных колебаний, поставив основной целью расчёта определение динамических усилий и перемещений. Влияние ста-тических ( точнее, квазистатических – постоянных и временных ) воздействий для линейно деформируемых систем может быть выявлено отдельным расчётом и учтено по принципу суперпози-ции.

Особое внимание к установившимся колебаниям объясня-ется тем, что они вызывают в конструкции циклические дефор-мации и напряжения, продолжительное ( в сравнении с переход-ным процессом ) воздействие которых может быть опасным с точки зрения длительной прочности материала [ 8 ].

Для построения решения сформулированной задачи в до-полнение к исходным предпосылкам и гипотезам линейной тео-рии динамики сооружений ( см. п. 1.3 ) добавим следующее до-пущение: внешнее и внутреннее трение достаточно мало, вследствие чего обусловленными им разностями фаз _i между перемещениями масс и изменениями воздействий можно прене-бречь ( _i0 ) и считать перемещения синфазными воздейст-виям: y_i (t) = y_i sin _F t , i = 1, 2, ..., n; ( 1.79 )

Инерционные силовые факторы при гармонических пере-мещениях ( 1.79 ) изменяются по тому же закону:

J_i (t) = –= y_i (t) = J_i sin _F t , ( 1.80 )

где J_i = y_i – амплитуда J_i (t). ( 1.81 )

Таким образом, введение допущения ( 1.79 ) приводит к тому, что изменения воздействий, перемещений и сил инерции во времени описываются единым законом:

F(t) = F

M(t) = M

_F t , ( 1.82 )

q(t) = q

 (t) = 

y_i (t) = y_i

J_i (t) = J_i

т

Пренебрежение разностями фаз _i не вно- сит существенных погрешностей, так как при реальных для строительных конструкций пара-метрах демпфирования разница между ампли-тудами и значениями величин в моменты вре-мени, близкие к амплитудным состояниям, пра-ктически неощутима.

. е. все они достигают своих амплитудных значений ( соответ-ственно F, M, q ,  , y_i и J_i ) одновременно. Следовательно, расчётная схема заданной системы для случая установившихся вынужденных колебаний при вибрационных воздействиях может быть сформирована для со-

стояния амплитудного от-

клонения от положения

статического равновесия

( рис. 1.28 ).

При решении задачи кинетостатическим методом наряду с заданными воздействиями и реакциями связей к системе при- кладываются силы инерции масс.

Обращает на себя внимание вертикальная сила инерции J^* ( на правой стойке) – её не было в схе-ме системы при собственных коле-баниях ( рис.1.23 ).

Возникновение этой силы свя-зано с вертикальным перемеще-нием y^*, равным вертикальной со-ставляющей заданного смещения  . Поэтому сила J^* выражается через известное перемещение y^* как J^* = m^* _F ² y* и учитывается вместе с заданными воздействи-ями.

J_{n – 1}

J₁

y₃

y₁

J₃

y_{n – 1}

J_n

J₂

F

M

y_n

q

y₂

y_i

y_k

J_i

J_k

y*

J*



Рис. 1.28

Cистема канонических уравнений в амплитудах инерцион-ных силовых факторов для установившихся вынужденных коле-баний от вибрационных воздействий ( см. 2_A_ из табл. 1.6 ) в развёрнутой матричной записи имеет вид

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.83 )

где=  – () ^–1a ^–1 – _F a ^–1; = _ii – 1/()_ii – _F /a_i , i = 1, 2, ..., n; _F = () ^–1 – характеристическое число; , _ik , m₀ , , a, a_i – то же, что в расчетах на собственные колебания.

Каждое из уравнений (1.83 ) выражает амплитуду динами-ческого перемещения в заданной системе, соответствующего некоторой степени свободы, через амплитуды инерционных силовых факторов и заданных воздействий.

Матрица – это матрица динамической податливости системы по направлениям сил инерции при установившихся гар-монических колебаниях от вибрационных воздействий. В отли-

чие от матрицы ( при собственных колебаниях ), которая явля-ется вырожденной ( Det () =0 при условии существования колебаний J  0 ), матрицавырожденной быть не должна, т. е. Det()  0, иначе получение отличного от нуля конечного реше-

н

y_i

ия ( 1.83 ) как J = – ()^–1 __( 1.84 ) невозможно.

Если Det () = 0, что име-

ет место при совпадении час-

тоты _F динамических возму-

щений с какой-либо частотой

_j собственных колебаний

(при_F = _j матрицы и

с

_i

тановятся одинаковыми, при-

чём Det () = 0 ), из ( 1.84 )

п

0 ₁ ₂ ₃ . . . _j . . . _n

_F

ри _0 получаются беско-

нечно большие значения сил

и

Рис. 1.29

нерции J, а, следовательно,

и перемещений y ( согласно

( 1.81 ) ) – это признак резо-

нанса. В системах с конечным числом степеней свободы резонанс возможен на любой из n частот спектра___n ( рис. 1.29 ). Замечание: при _F> _j в зоне резонанса перемещения масс происходят в противофазе вынуждающим воздействиям.

_F _min / k_, ( 1.85 )

В реальных сооружениях из-за демпфирования колебаний перемещения и усилия при резонансе остаются конечными ( пунктирная линия на рис. 1.29 ), но могут достигать опасно больших значений. Наиболее опасен резонанс на частоте основного тона собственных колебаний __min, так как при более вы-соких частотах сильнее сказывается благоприятное сдерживающее влияние внешнего и внутреннего трения. Условие ненаступления резонанса записывает-ся в виде

где k_> 1 – коэффициент надежности ( запаса ) по частоте.

*) Среди найденных значений J могут оказаться отрицательные – это говорит о том, что истинные направления этих сил инерции противоположны показанным на расчётной схеме ( рис. 1.28 ).

После вычисления по

( 1.84 ) основных неизвест-

ных J ^*) далее могут быть

о

S_dyn= S_J + S_=, ( 1.86 )

пределены амплитуды перемещений масс y ( по ( 1.81 )) и дина-мических силовых факторов S_dyn ( внутренних усилий, напряже-ний, реакций опор ) – по принципу суперпозиции, в соответствии со схемой рис. 1.28:

где S_J , S_k , S_– усилия в заданной системе соответственно от амп-

литуд всех сил инерции, от k-й единичной силы

инерции ( J_k = 1 ) и от амплитуд заданных воздей-

ствий.

Для контроля правильности найденных динамических си-ловых факторов выполняются проверки – статическая и кине-матическая. Первая из них заключается в проверке выполнения условий равновесия системы в целом, её частей и узлов – с обя-зательным учётом, в соответствии с расчётной схемой ( рис. 1.28), найденных сил инерции J вместе с нагрузками, реакциями связей и внутренними усилиями в сечениях, отделяющих части или узлы. Статическая проверка способна обнаружить ранее случайно не выявленные ошибки в определении усилий S_k и S_, а также ошибки в вычислении динамических усилий S_dyn и по-строении их эпюр.

Кинематическая проверка – главная, так как контролирует выполнение требований, изначально сформулированных основ-ными уравнениями ( 1.83 ). Она заключается в сопоставлении двух вычисленных разными способами значений амплитуды перемещения y_i и делается для всех y_i ( i = 1, 2, ..., n ):

J_i_F /a_i = (?) =+, i = 1, 2, ..., n , ( 1.87 )

где S_i и R_{j, i} – усилия в элементах системы и реакции её упругих

связей от J_i = 1;

S_dyn и R_j,dyn – то же, по результатам динамического расчёта.

F(t)

Динамические силовые факторы изменяются во времени так же, как и силы инерции или перемещения точек сооружения ( рис. 1.30 ):

t

0

S_{dyn, max}

S_dyn (t) = S_dyn sin _F t. ( 1.88 )

S_{dyn, min}

Таким образом, решение

задачи, полученное в амплиту-

д

Рис. 1.30

ах динамических величин

( сил инерции, перемещений,

внутренних силовых факторов ), полностью определяет напря-жённо-деформированное состояние системы в любой момент времени.

При движении системы от одного амплитудного положения до другого, противоположного по знакам перемещений, sin _F t изменяется от +1 до –1, при этом в произвольный момент t

S_{dyn, max} = + | S_dyn |

S_{dyn, min} = – | S_dyn |

S_dyn (t) ( 1.88* )

Здесь S_dyn берется по абсолютной величине потому, что в одном и том же амплитудном состоянии системы ( например, со-

о

F

J₂

тветствующем sin _F t = +1)

внутренние усилия в разных

сечениях могут иметь разные

знаки – в частности, как изги-

б

J₁

M_{dyn, min}

ающие моменты в балке,

изображённой на рис. 1.31.

0

Исходя из ( 1.88 ), при-

н

M_{dyn, max}

ято строить на одной общей

о

Рис. 1.31

си, кроме эпюры получен-

ных по ( 1.86 ) значений S_dyn

( сплошная линия на рис. 1.31), также эпюру – S_dyn ( штриховая линия ). В совокупности они показывают пределы изменений S_dyn (t) в разных сечениях элементов конструкции, т. е., по сути, представляют собой две ветви ( S_{dyn, max} и S_{dyn, min} ) объемлющей эпюры динамического силового фактора.

Так, для балки (рис. 1.31) с учетом знаков M_dyn :

M_{dyn, max} = + | M_dyn | =

и M_{dyn, min} = – | M_dyn | =

Количественной характеристикой динамического эффекта для некоторого параметра Р напряжённо-деформированного со-стояния системы является динамический коэффициент, равный отношению наибольшего ( при гармоническом законе изменения – амплитудного ) значения величины Р от динамического воздей-ствия к её значению при условном статическом приложении амплитуд заданных воздействий:

_P = | P_dyn (t) | _max / | P_st | . ( 1.89 )

Различают динамические коэффициенты по перемещениям, усилиям, напряжениям – _, _S , _. В принятых выше обозна-чениях при установившихся вынужденных колебаниях от вибра-ционных воздействий:

_ _dyn __ _ | ; _S = | S_dyn | / | S_ | ; _ _dyn | / | _ | , ( 1.89* )

причем если y_i ( перемещение массы ), то _yi = | y_i | / | _i | .

В системах с конечным числом степеней свободы динами-

ч

F

еские коэффициенты в общем случае – переменные по длине

элементов конструкции, так

как распределения некоторо-

го параметра Р в динамике

( P_dyn ) и в условном статичес-

ком состоянии ( P_st ) не подоб-

н

M_F

ы ( пример – эпюры M_dyn на

р

Рис. 1.32

ис. 1.31 и M_F M_st на рис. 1.32 ).

Поэтому динамические коэф-

фициенты вычисляют для величин, наиболее важных с точки зрения прочности, жёсткости и устойчивости сооружения, – на-ибольших прогибов, усилий и напряжений в опасных сечениях и т. п. При этом обязательно указывается, к какому именно пара-метру относится динамический коэффициент, например: _M1 – по изгибающему моменту в сечении 1.

Лишь для консервативных систем с одной степенью свободы при сосредоточенном воздействии по направлению перемещения массы динамический коэффициент – общий для всех параметров НДС конструкции:

 = _= _S = _const = [ 1 – ( _F /  )² ] ^{– 1} . ( 1.89₁ )

Определение динамических усилий и перемещений не самоцель – это необходимо для последующих проверок прочно-сти, жёсткости и устойчивости сооружения. Так, динамические усилия являются частью полных усилий, в которые, кроме них, входят составляющие от квазистатических воздействий – посто-янных ( сил тяжести масс конструкций ) и временных ( снеговых, от толпы людей и др.):

S(t) = S_const +  S_temp + S_dyn (t) . ( 1.90 )

Максимальные и минимальные значения S(t) называются расчётными полными усилиями ( рис. 1.33 ):

S_{max (min)} = S_const +  S_{temp, max (min)} | S_dyn | . ( 1.91 )

Смысл величин в формулах ( 1.90 ), ( 1.91 ) и на рис. 1.33 раскрыт в п. 1.2.

Графики S_max и S_min , построенные на осях элементов систе-мы, вместе образуют объемлющую эпюру полных усилий S.

S(t)

| S_dyn |

 S_{temp, max} > 0

| S_dyn |

S_max



 S_{temp, min} < 0





S_const

| S_dyn |



0

t

S_min

Рис. 1.33

По расчётным усилиям и их составляющим определяются характеристики циклически переменных напряжений (t) – амп-

литуда цикла _a – через | S_dyn |,

с

_a

(t)

реднее напряжение цикла _m

(

_a

рис. 1.34 ) – в двух вариантах –

ч

_m

ерез S_const +  S_{temp, max} и S_const +

+

t

0

 S_{temp, min} . Для сжато ( растяну-

т

Рис. 1.34

о )-изогнутых элементов рам,

арок и т. п. конструкций при вы-

ч

_a

ислении _a и _m учитываются расчётные изгибающие моменты и соответствующие им продольные силы. Найденные значения

0

_–1

Область

допустимых

циклов

_a и _m используются для оценки прочно-

сти материала при циклических напряже-

ниях в характерных ( опасных ) точках со-

_m

_u

оружения ( конструкции ) с помощью ди-

Рис. 1.35

аграммы предельных амплитуд [ 8 ] ( рис.

1.35 ), где _–1 – предел выносливости ма-

териала при симметричном цикле напряжений; _u – предел проч-ности ( или текучести ) материала; _–1( 0,4 … 0,5 ) _u .

Общий алгоритм расчёта системы с конечным числом сте-пеней свободы масс на установившиеся вынужденные колебания от вибрационных воздействий в своей первой части – от опреде-ления числа степеней свободы n до формирования матрицы уп-ругой податливости  – полностью совпадает с соответствующей частью алгоритма расчёта на собственные колебания ( рис. 1.25 ),

только на расчётной схеме, конечно, обозначаются и амплитуды

заданных воздействий. Если исследованию вынужденных коле-

На рассмотрение единичных : На вычисление единичных

Вычисление характеристического числа _F и формирование матрицы динамической податливости ^* =  – _F a^–1

состояний ( рис. 1.25 ) перемещений ( рис.1.25 )

Проверка на ненаступление резонанса: Det (^*)  0 (?)

Если _F задается как не-которая часть от ранее уже вычисленной часто-ты собственных колеба-ний (_F = k__min ), то до-статочно проверить, не взято ли случайно k_ =1.

Нет

Изменение _F

Да

Рассмотрение состояний заданной системы при амплитудных значениях заданных воздействий – с определением возникающих от них силовых факторов S_

При расчёте на ЭВМ мо-жно объединить вычис-ление S_ с определени-ем S_k , рассматривая еди-ничные и заданные воз-действия как n+1 вари-ант загружения.

Вычисление перемещений _ в заданной системе от амплитуд заданных воздействий

Если проверка на резо-нанс ранее не была вы-полнена, то может быть обнаружена вырожден-ность системы уравне-ний ( Det (^) = 0 ) и невоз-можность их решения, либо будут получены значения J, многократно превышающие амплиту-ды нагрузки – признак близости к резонансу.

Решение системы канонических уравнений: J = – (^*)^–1_

Вычисление амплитуд динамических силовых факторов S_dyn по ( 1.86 )

Статическая проверка S_dyn

Выполняется

Не выполняется

Проверки правильности определе-

ния S_dyn и построения их эпюр

Ошибки

обнаружены

Здесь могут быть выяв-лены только случайно ранее не обнаруженные ошибки, так как провер-ки равновесия должны выполняться ещё на первом этапе расчёта.

Обнаружены Ошибок нет

Проверки выполнения условий равнове-сия для единичных усилий S_k ( k = 1, ..., n )

и усилий от заданных воздействий S_

ошибки

в S_

Обнаружены

ошибки в S_k

Кинематическая проверка по (1.87)

Не выполня-

Выполняется ется

Построение объемлющих

и соответствующих им эпюр динамических силовых факторов

Например, в рамах наряду с объемлю-щей эпюрой изгибающих моментов M_dyn строятся эпюры соответствующих им поперечных сил Q_{Mdyn, max} , Q_{Mdyn, min}

и продольных сил N_{Mdyn, max} , N_{Mdyn, min}

На этом заканчивается собственно динамический расчёт. Далее учитываются статические воздействия, определя-ются полные расчётные усилия и т.д.

К

Рис. 1.36

баний предшествует, как это часто бывает на практике, расчёт на собственные колебания, то полученные в нём матрицы  и еди-ничные силовые факторы S_k от J_k = 1 ( k = 1, 2, ..., n ) использу-ются далее при рассмотрении заданных динамических воздейст-вий. Отличная от расчёта на собственные колебания часть ал-горитма для случая вынужденных колебаний представлена на рис. 1.36.

В варианте расчёта в форме метода перемещений урав-нения установившихся вынужденных колебаний отличаются от ( 1.71 ) – ( 1.75 ), во-первых, наличием слагаемых, являющихся реакциями дополнительных связей в расчётных узлах от ампли-туд заданных воздействий и, во-вторых, тем, что в них присут-ствует частота _F :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.92 )

где – матрица динамической жёсткости заданной системы

по направлениям степеней свободы масс при установив-

шихся гармонических колебаниях с частотой _F :

r –r – _0F a ; ( 1.93 )

_{0, F} = ; = r_ii –r_ii – _{0, F} a_i ; ( 1.94 )

остальные обозначения – те же, что в случае собствен-

ных колебаний.

Основные неизвестные: , ( 1.95 )

по ним определяются амплитуды инерционных сил J ( с помощью зависимости ( 1.81 )) и искомых динамических усилий

S_dyn=, ( 1.96 )

где верхний индекс «0» указывает на то, что соответствующие усилия найдены в системе со связями только по направлениям степеней свободы масс, т. е. в кинематически неопределимой основной системе метода перемещений.

Далее расчёт выполняется в точности так, как изложено на с. 72 – 76.

При использовании кинематически определимой ОСМП, выбор которой описан на с. 65, уравнения в амплитудах переме-щений расчётных узлов имеют вид

( 1.97 )

где a₀ – см. с. 67.

Решение системы ( 1.97 ) даёт основные неизвестные

, ( 1.98 )

из которых Z_mпозволяют по ( 1.81 ) найти инерционные сило-вые факторы J. Амплитуды динамических усилий вычисляются

как S_dyn=, ( 1.99 )

далее – расчёт аналогично вышеизложенному.

Исключение из уравнений ( 1.97 ) неизвестных Z_d приводит к варианту ( 1.92 ) – для кинематически неопределимой ОСМП ( только с перемещениями масс в качестве основных неизвест-ных ). Матрицы коэффициентов и свободных членов находятся при этом по формулам

( 1.100 )