1.4. Степени свободы масс

Определение числа степеней свободы масс ( ЧССМ ) как независимых компонентов их линейных и ( для неточечных масс ) угловых перемещений является важным этапом формирования расчётной схемы рассматриваемого сооружения / конструкции.

z₀₀

a_m

В общем случае пространственного движения точечной массы, не имеющей закреплений жёсткими связями, её положе-ние в произвольный момент времени определяется тремя коор-динатами или их приращениями, т. е. компонентами линейных перемещений. Для неточечной массы добавляются ещё три угла поворота, а при наличии у массы собственной

о

b_m

си, относительно которой инерцию вращения

м

y₀₀

ожно не учитывать, как, например, ось z₀ на

р

x₀₀

l_m

ис. 1.7, независимых углов поворота будет два.

Исходя из этого, число n степеней свободы со-

средоточенн

a_m , b_m << l_m

ых масс пространственной систе-

мы можно вычислять по формуле

n = 3 n_m + 2 n_{нт. m} +– n_{ж. с.} , ( 1.4 ) Рис. 1.7

где n_m – общее количество масс ( точечных и неточечных );

n_{нт. m} – количество неточечных масс;

– число неточечных масс, для которых нужно учитывать

инерцию вращения относительно всех трёх собствен-

ных осей;

n_{ж. с.} – число простых жёстких линейных и угловых связей,

наложенных непосредственно на массы.

m₁

m₂

m₃

m₃

Для пространственной рамы, изобра-

ж

m₁

ённой на рис. 1.8: n_m = 5; n_{нт. m} = 3;

= 1 ( масса m₂ ); n_{ж. с.} = 2,

получается n =

При плоском движении системы ка-

ждая точечная масса, не имеющая жёст-

ких связей с «землёй», обладает двумя сте-

п

Рис. 1.8

енями свободы ( линейными перемеще-

ями в плоскости ), а каждая неточечная

м

n = 2 n_m + n_{нт. m} – n_{ж. с.} . ( 1.5 )

m₄

m₄

асса – дополнительно ещё и третьей степенью свободы – углом поворота. Тогда для числа степеней свободы масс плоской систе-мы получаем, используя такие же обозначения, как в ( 1.4 ), фор-мулу

m₂

m₃

m₂

m₃

m₃

m₃

а) б)

m₁

m₁

m₄

m₄

m₃

m₃

m₁

m₁

m₂

m₂

Рис. 1.9

Для плоской фермы ( рис. 1.9, а ): n_m = 7 ; n_{нт. m} = 0 ; n_{ж. с.}= 1 n = 13 ; у плоской комбинированной системы ( рис. 1.9, б ) с жёст-кими опорами n_m = 11 ; n_{нт. m} = 2 ; n_{ж. с.} = 3 n = 21 .

Определение n по формулам ( 1.4 ) и ( 1.5 ) предусматривает в последующем динамическом расчёте учёт всех видов дефор-маций элементов системы ( поперечный изгиб, растяжение / сжа-тие, в пространстве также кручение ). Если ввести в качестве ра-бочей гипотезы допущение о пренебрежимой малости взаим-ного продольного смещения концов прямолинейного стержня от

его изгиба и растяжения / сжатия, т. е. считать, что ( l – ис-

ходная длина j-го элемента, – расстояние между его концами в

деформированном состоянии )^*), то расчётное число степеней сво-

б

^*) Это категорически неприменимо для ферм.

оды масс может уменьшаться за счёт того, что некоторые пере-мещения масс могут оказываться взаимозависимыми или равны-ми нулю. Так, для плоской рамы ( рис. 1.10, а ) по формуле ( 1.5 ) ( с учётом всех видов деформаций ) получается n = 11, а в резу-льтате применения вышеуказанной гипотезы обращаются в нуль вертикальные перемещения всех то-

ч

m₄

u₂

v₂

u₃

v₃

u₄

v₄

₃

ечных масс и оказываются одинако-

в

m₂

u₁

u₅

ыми горизонтальные перемещения

т

m₃

m₁

m₅

v₁

v₅

рёх верхних масс ( рис. 1.10, б ); поэто-

му число степеней свободы ( независи-

м

u₂

ых перемещений масс ) сокращается а)

д

₃

u₃= u₂

u₄= u₂

о 4 – это горизонтальные перемеще-

н

v₃

m₂

m₄

ия u₁ и u₅ масс m₁ и m₅ , общее гори-

зонтальн

m₃

u₅

u₁

ое перемещение u₂ = u₃ = u₄

м

m₁

асс m₂ , m₃ и m₄ , вертикальное пере-

мещение v₃ и угол поворота ₃ массы

m₃ . Уменьшение числа степеней свободы весьма б)

значительное – почти в три раза, и при расчёте «вруч-

ную» это радикально снижает трудоёмкость вычисле- Рис. 1.10

ний. Но в современных компьютеризированных рас-

чётах это утрачивает актуальность; кроме того, теряется часть полезной информации о динамических свойствах и поведении системы ( подробнее об этом – в п. 1.6 ).

В методике определения числа степеней свободы масс усматривается принципиальное сходство с нахождением степе-ни кинематической неопределимости деформируемой системы в классическом методе перемещений (МП). Поэтому, если в число расчётных узлов МП кроме мест соединения элементов, измене-ния жёсткостей и опорных узлов с неизвестными перемещениями дополнительно ввести точки расположения сосредоточенных масс, то ЧССМ можно вычислять по формуле

n = n_{, m} + n_{, m} , ( 1.6 )

где n_{, m} и n_{, m} – соответственно степени угловой и линейной под-вижности масс:

n_{, m} =

2 n_{нт. m} +– для пространственной системы;

n_{нт. m} – для плоской системы;

д

в расчёт не принимаются ).

ля выявления n_{, m} может использоваться, как и в методе пере-мещений, шарнирная система, в которую вводятся жёсткие ли-нейные связи для обеспечения неподвижности расчётных узлов, после чего n_{, m} находится как число введённых связей, обеспечи-вающих закрепление масс ( остальные связи, устраняющие воз-можные перемещения других узлов, где массы отсутствуют,

Для плоской системы с пятью массами, из которых одна

неточечная ( рис. 1.11, а ), имеем n_{, m} = n_{нт. m} = 1; шарнирная си-стема, построенная с учётом продольной податливости затяжки

и упругих опор ригеля, с применением гипотезы к изгиба-

е

Шарнирная система

мым элементам рамы, а также с дополнительными расчётными узлами в точках расположения масс, показана на рис. 1.11, б.

EA

а) б) в)

Рис. 1.11

Линейные связи, введенные для обеспечения неподвиж-ности расчётных узлов шарнирной системы, изображены на рис. 1.11, в, причём сплошными линиями выделены связи, уст-раняющие возможные линейные перемещения масс – таких свя-зей четыре ( n_{, m} = 4 ); окончательно n = 1 + 4 = 5. Заметим, что от-каз от предпосылки дает n = 11 ( по ( 1.5 )) .

Практически удобно определять ЧССМ как число простых жёстких линейных и угловых связей, минимально необходимых для устранения возможных перемещений масс.

Например, для ком-

бинированной плас-

тинчато-стержневой

системы с четырьмя

т

z

очечными и двумя

неточечными со-

средоточенны- а) б)

м

y

x

и массами

(

Рис. 1.12

рис. 1.12, а )

нужны девять

линейных связей и четыре угловых для закрепления масс от их возможных перемещений, если учитывать только изгибно-кру-тильные деформации стержней и пластинки; тогда n = 9 + 4 = 13.

Другие примеры определения характеристики n даны в главе 3.

Из формул для вычисления ЧССМ видно, и приведённые примеры это под-тверждают, что количество масс n_m и число их степеней свободы n могут находиться в разных соотношениях, в зависимости от особенностей рассчитываемой системы и по-становки задачи динамического расчёта: n может быть больше n_m ( рис. 1.8, 1.9, 1.12 ), меньше ( рис. 1.10, б ) или иногда совпадать ( рис. 1.11, в ).

В заключение отметим, что для нестержневых систем число степеней свободы сосредоточенных масс в общем случае определяется по формуле ( 1.4 ) или в частном случае пластинки, динамически загруженной в срединной плоскости, – по ( 1.5 ).