1.6. Обобщённые перемещения, группировка неизвестных и учет симметрии в динамических расчётах

В динамических расчётах возможно, а в некоторых случа-ях – рационально и иногда даже необходимо вместо истинных перемещений масс y(t) = [ y₁(t) y₂(t) … y_n(t) ]^т использовать их выражения через некоторые другие величины, в частности, пе-ремещения , причём зависимость меж-ду y(t) и представляется в форме линейного преобразования вектора в вектор y(t):

, ( 1.101 )

где  – прямоугольная матрица преобразования векторов:

. . . . . . . . . . . .

.

Величины , через которые по ( 1.101 ) полностью оп-

ределяются перемещения всех масс системы и которые, следо-вательно могут истолковываться как степени свободы масс, в механике называются обобщёнными координатами и обознача-ются q (t). В рассматриваемых далее задачах динамики деформи-руемых систем это обозначение не применяется из-за совпадения с интенсивностью распределённой динамической нагрузки.

С учётом указанного смысла величин будем называть

их обобщёнными перемещениями. В общем случае .

y₃ (t)

На рис. 1.37 изображена плоская система, элементы кото-рой считаются недеформируемыми на том основании, что, по предварительной оценке, при определённых параметрах конст-рукции влияние деформаций стержней на перемещения масс пренебрежимо мало в сравнении с влиянием податливости упру-

г

y₂ (t)

y₄ (t)

их опор. Анализ возможных

перемещений системы показы-

в

y₅ (t)

ает, что все они могут быть

выражены через два парамет-

р

y₁(t) =

а – и , играющие

роль обобщённых перемещений:

l

l

l /2

l /2

y₁(t) = y₂(t) =;

y₃(t) = y₄(t) = ( l / h );

y₅(t) = 0,5 [+]

или в форме ( 1.101 ): Рис. 1.37



– ( 1.102 )

это случай, когда n > n₀ ( n = 5, n₀ = 2 ).

y (x,t)

В качестве примера задачи, где n < n₀ , может служить по-казанный на рис. 1.38 стержень с тремя массами, перемещения которых при изгибных колебаниях полностью определяются че-тырьмя компонентами смещений концевых сечений, если извес-тен закон изменения прогибов

y (x, t) по длине стержня. При

описании его оси в деформиро-

в

анном состоянии в момент вре-

мени t, по предложению акад.

В

x

.В. Болотина, как при стати-

ч

l /4

l /4

l /4

l /4

еском изгибе незагруженного

элемента постоянного сечения,

в виде кубического полинома Рис. 1.38

y (x, t) = a₀ (t) + a₁ (t) x + a₂ (t) x² + a₃ (t) x³ из граничных условий y (0, t) = y ’(0, t) = – y (l, t) = y ’(l, t) = – имеем

, тогда перемещения

как

y₁ (t)y ( l /4, t ), y₂ (t)y ( l /2, t ) и y₃ (t)y ( 3l /4, t ) выражаются через обобщённые перемещения , согласно ( 1.101 ),

 ( 3х4 )

. ( 1.103 )

Использованный во втором примере приём аппроксимации истинных перемещений некоторой заранее выбираемой функци-ей типичен для метода конечных элементов.

Зависимости ( 1.102 ) и ( 1.103 ) выражают действительные перемещения масс y (t) через обобщённые перемещения ( коор-

динаты ) . Обратная процедура – отыскание по найден-

ным каким-либо способом y (t) – при n > n₀ и n < n₀ невозможна ( матрица, обратная  , не существует ). Но в тех достаточно рас-

пространённых задачах, где n = n₀ , векторы y (t) и, имеющие равные количества компонентов, связываются друг с другом квадратной матрицей  . В этом случае наряду с прямой зависи-мостью ( 1.101 ) справедлива и обратная , если  –

невырожденная ( Det () 0 ). При этом величины , пред-

ставляемые в виде линейных комбинаций ( групп ) исходных ( дей-ствительных ) y (t), называются групповыми неизвестными. При назначении компонентов _ik следует руководствоваться сообра-жениями упрощения расчёта, к сожалению, не всегда очевидны-ми ( далее будут рассмотрены случаи, когда для формирования матрицы  удаётся использовать простые физические представ-ления ).

В динамическом расчёте, кроме обобщённых ( или группо-

вых ) перемещений , фигурируют соответствующие им обоб-

щённые ( групповые ) инерционные силовые факторы и порождающие их обобщённые ( приведённые ) массы . Для по-

лучения их выражений через действительные ( исходные ) массы используем физические зависимости Д’Аламбера

J(t) = – ( 1.104 )

и ( 1.105 )

и теорему Бетти о взаимности возможных работ для одного и того же равновесного ( по Д’Аламберу ) состояния системы в мо-мент времени t , описанного парами двойственных величин – y (t) и J(t), и: ( 1.106 )

Подставив ( 1.104 ) и ( 1.105 ) в ( 1.106 ), имеем

или, учитывая ( 1.101 ): , откуда

и окончательно . ( 1.107 )

Из ( 1.106 ) находим также. ( 1.108 )

Для системы по рис. 1.37 при трёх одинаковых массах по m

и

diag [ m m m m m ]

сходная матрица масс = diag [ m m m m m ], тогда по ( 1.107 )

по (1.108): .

В задаче для стержня по рис. 1.38 при средней массе 2m и двух других по m матрица приведённых ( обобщённых ) масс

Для обоих примеров характерно то, что матрица приведён-ных масс – симметричная, но недиагональная. Эта её особен-ность обусловлена введением в рассмотрение обобщённых ( груп-повых ) перемещений и соответствующих им инерционных си-ловых факторов, порождаемых не отдельными массами, а груп-пами масс. Отметим, что исходные перемещения и силы инер-ции сами по себе сразу могут рассматриваться как групповые. Так, в показанной на рис. 1.37 раме с тремя одинаковыми мас-сами можно обнаружить группу взаимосвязанных перемещений в составе y₁(t) = y₂(t) и y₃(t) = y₄(t) = (l /h) y₁(t) и группу сил инерции, составляющих единое целое и выражаемых через один общий параметр: две равные вертикальные силы инерции J₁ (t) = = J₂ (t) и горизонтальные J₃ (t) = J₄ (t) = (l /h) J₁ (t). Другие при-меры будут даны далее.

Принципиально уравнения и формулы динамического рас-чёта с групповыми величинами – такие же, как в случае негруп-повых перемещений и силовых факторов. Поэтому в дальней-шем специальное обозначение для обобщённых ( групповых ) вели-чин – символ « ~ » – применяется только тогда, когда они фигу-рируют вместе с другими ( до группировки ), и их нужно разли-чать.

В связи с этим укажем на некоторые уточнения в истолко-вании ранее записанных в п. 1.5 уравнений динамики. В матрич-ной форме ( 1.16 ), ( 1.16*), ( 1.15* ), ( 1.26 ), ( 1.28 ) и их аналоги в табл. 1.2 – 1.6 остаются неизменными, но матрицу масс в них следует рассматривать как недиагональную, в связи с чем вво-дится двухиндексное обозначение компонентов матрицы масс: ( диагональные – ), . Тогда выражения ( 1.104 ), являющиеся обобщением зависимости ( 1.2 ) на случай группо-вых величин, принимают вид

( 1.109 )

соответственно

( 1.110 )

где m₀ – параметр массы.

Аналогично диссипативные силовые факторы F_D (t) также

предполагаются групповыми, а при использовании обобщённых сил формируется матрица обобщённых коэффициентов вязкого сопротивления

( 1.111 )

и определяются , ( 1.112 )

причём – обоб-щение формулы ( 1.3 ).

По аналогии с единичными реакциями r_ik в формуле ( 1.21 ), выражающей

силовой фактор R_iy (t) через перемещения y(t), величины в ( 1.109 ), посред-

ством которых силовой фактор J_i (t) связывается с ускорениями , иногда

называют реакциями по направлению групповой силы J_i (t) от единичных уско-рений ( [ 1 ], [ 6 ] ). Из тех же соображений коэффициенты k_{f, ik} при этом именуют

реакциями по направлению диссипативной силы F_Di (t) от единичных скоростей.

Наконец, групповыми являются единичные перемещения _ik и реакции r_ik в матрицах упругой податливости и жёсткости,

а также перемещения и реакции от амплитуд заданных воздействий.

С учётом ( 1.109 ) уравнения ( 1.14 ) получаются такими:

+ y_i (t) =(1.113)

Другие основные варианты уравнений динамики – ( 1.15 ), ( 1.24 ) и ( 1.27 ) представляются соответственно следующим об-

разом:

= – ( 1.114 )

(здесь компоненты обращённой матрицы масс );

= –, ; ( 1.115 )

+ k_{f, i} +=, . ( 1.116 )

Для особых случаев движения – гармонических колеба-ний – уравнения с групповыми неизвестными в рациональных вариантах записи, получаемые из ( 1.114 ) и ( 1.115 ) без учёта диссипации, имеют следующий вид:

 при собственных колебаниях:

– в амплитудах инерционных силовых факторов

, ( 1.117 )

где  = 1/( m₀ ² ); ;

– в амплитудах перемещений

( 1.118 )

 = 1/ = m₀ ² ;

 при установившихся вынужденных колебаниях от вибраци-онных воздействий:

– в амплитудах инерционных силовых факторов

, ( 1.119 )

где _F = 1/( m₀);

– в амплитудах перемещений

( 1.120 )

_F = 1/_F = m₀.

Матричные формы уравнений ( 1.117 ) – ( 1.120 ):

Матрицы динамической податливости , и динамичес-кой жёсткости рассчитываемой системы отличаются от их

аналогов, входящих в уравнения ( 1.51 ), ( 1.65 ), ( 1.83 ) и ( 1.92 ) с негрупповыми неизвестными, тем, что динамические поправки

могут быть не только в диагональных, но и в побочных компо-

нентах этих матриц:

. ( 1.121 )

Недиагональный характер матрицы масс или относи-тельных масс следует учитывать при выполнении кинемати-ческой проверки результатов расчёта на установившиеся гармо-нические вынужденные колебания – левая часть ( 1.87 ) должна вычисляться по формуле

В решениях задач о гармонических колебаниях по уравне-ниям ( 1.117 ) и ( 1.119 ) в форме метода сил бывает целесооб-разным такое преобразование основных неизвестных – амплитуд инерционных сил, когда n исходных J связываются c равным числом n₀ = n обобщённых ( групповых ) в виде

= _J. ( 1.122 )

Из условия ( 1.106 ), записанного в амплитудах, получаются

зависимости для определения матрицы приведённых масс и вектора перемещений, соответствующих силовым факторам :

( 1.123 )

и . ( 1.124 )

^*) В динамике сооружений симмет-ричной считается система, облада-ющая симметрией

 геометрии,

 структуры (размещения связей),

 распределения жёсткостей,

 расположения масс.

Использование групповых

неизвестных позволяет сущест-

венно упростить динамические

расчёты симметричных систем^*) –

в этих задачах переход от исходных ( действительных ) к новым ( групповым ) перемещениям масс или инерционным силовым факторам осуществляется наиболее просто – они представляют собой симметричные или обратносимметричные группы пе-

ремещений или сил, причём новых неизвестных столько же, сколько исходных, т. е. n₀ = n . Возможно заменять исходные пе-

р

m

Ось сим-

метрии

J_i

емещения и силы инерции любого числа

с

m

J_k

имметрично расположенных масс со-

о

y_i

y_k

а)

тветствующим количеством групповых

н

a

a

еизвестных. Но обычно эту процедуру

п

рименяют к парам масс.

Так, для двух симметрично расположенных

о

динаковых масс ( рис. 1. 39, а ) истинные переме-

щ

б)

ения – y_i и y_k ( для сокращения записи полное

о

бозначение y_i (t) и y_k (t) не используется ); соответ-

с

твующие им силы инерции – J_i и J_k ; матрица масс

Рис. 1.39

.

в)

Вместо J_i и J_k вводятся две группы

парных новых неизвестных – симметричных

( рис. 1.39, б ) и обратносимметричных ( рис. 1.39, в ), которые в сумме статически эквивалентны исходной паре J_i и J_k : J_i =+; J_k =– или = J_i / 2 + J_k / 2 ; = J_i / 2 – J_k / 2 – из коэффициентов при J_i и J_k в двух послед- них зависимостях формируется матрица преобразования неизвестных:

. По формуле ( 1.123 ) находится матрица приведённых масс:

– отсюда видно, что приве-

дённая масса, соответствующая парному симметричному неизвестному J_i (или обратносимметричному J_k ) равна половине реальной массы.

, то есть = y_i + y_k ; = y_i – y_k – эти же выражения можно по-

Обобщённые перемещения и, соответствующие групповым неиз-вестным и , определяются по ( 1.124 ):

лучить, исходя из рис. 1.39, по которому легко установить, что y_i =(а), y_k =(б). Если далее рассмотреть работы и групп сил ина соответствующих им перемещениях, то очевидно, что и , откуда с учётом симметрии пере-мещений (, ) следует, – подстановка этих зависимостей в (а) и (б) даёт и, чтоэквивалентно найденным выше по формуле ( 1.124 ) соотношениям между y_i , y_k , и.

J_i–1

m_i

Ось сим-

метрии

J_i

Более сложный случай группировки – сразу для трёх неизвестных – пред-ставлен на рис. 1.40. Вследствие того, что одна из трёх масс ( m_i ) располагается на оси симметрии, из трёх групповых неизвестных два – симметричные ( и) и одно – обратносимметричное ().

С

J_i+1

m_i+1

m_i–1 =

= m_i+1

вязь между исходными неизвестными J_i–1 ,

J_i , J_i+1 и групповыми,и, согласно

р

a

a

ис. 1.40, такова:

J_i–1 =++,

J_i =–, или

J_i+1 =+–,

о

Рис. 1.40

ткуда

и далее по ( 1.123 ):

–

следует обратить внмание на то, что матрица приведённых масс получилась симметричной, но не диагональной.

В той же задаче более простой вариант выбора групповых неизвестных ( рис. 1.41 ) даёт:

Рис. 1.41

С групповыми неизвестными уравнения собственных коле-баний записываются в виде , где мат-рица упругой податливости заданной системы по направлениям групповых сил инерции , компоненты которой вычисляются как обобщённые единичные перемещения от

Если в векторе выделить две части, одна из которых содержит только симметричные групповые неизвестные , а другая – только обратносимметричные , то уравнения коле-баний приобретут следующую

блочную структуру: ( 1.125 )

где – матрица перемещений

по направлениям симметричных неизвестных от единичных обратносимметричных сил инерции ; – матрица переме-щений по направлениям от единичных .

Очевидно, что , вследствие чего система ( 1.125 ) распадается на две независимые подсистемы

и . ( 1.126 )

Уравнение частот собственных колебаний при-нимает вид и также порождает два неза-

висимых частотных уравнения:

и . ( 1.127 )

Первое из них даёт спектр частот симметричных форм собственных колебаний, а второе – обратносимметричных форм. Общее их число, конечно, равно числу степеней свободы масс n. Частоты симметричных и обратносимметричных форм входят в полный спектр «вперемешку».

Любая симметричная главная форма очевидным образом ортогональна любой обратносимметричной – это не требует осо- бой проверки. Следует контролировать ортогональность форм одного типа.

Форм собственных колебаний, не обладающих свойства-ми прямой или обратной симметрии, у симметричной системы не может быть.

В случае гармонических вынужденных колебаний систе-ма уравнений в амплитудах групповых инерционных силовых факторов имеет вид

( 1.128 )

и состоит из двух независимых подсистем

и – ( 1.129 )

даже при произвольных ( асимметричных ) воздействиях это упрощает расчёт и уменьшает его трудоёмкость.

При симметричных ( или обратносимметричных ) воздей-ствиях неизвестные противоположного типа заведомо равны ну-лю, и содержащие их уравнения вообще можно не составлять.

Если динамический расчёт симметричной системы выпол-няется с использованием классических методов – сил, перемеще-ний или смешанного, то наряду с «главными» неизвестными – силами инерции или перемещениями масс – следует группиро-вать также и неизвестные соответствующего метода – X или Z .

Альтернативой расчёту симметричных систем с помощью группировки неизвестных является способ, основанный на разделении системы на две половины сечением по оси симметрии с последующим выполнением двух независимых расчётов одной половины – от-дельно на симметричную и обратносимметричную составляющие динамических воздействий при вынужденных колебаниях или при соответствующих типах собственных колебаний. В каждом из двух расчётов по линии разреза вводятся определённые комбинации связей, моделирующие влияние отброшенной половины при рассматриваемом – симметричном или обратносимметричном – движении системы. При формировании расчётной схемы половины системы массы и связи, расположенные на оси симметрии, делятся пополам, а стержни, продольные оси которых совпадают с осью симметрии, «расщепляются» вдоль оси на две части с половинной жёсткостью каждая. Подробности – в примере ( см. гл. 3 ).

В динамике сооружений достаточно часто встречаются задачи, где основные неизвестные расчёта в форме метода сил

с

m₍₁₎

y₁₍₂₎

y₁₍₁₎

y₁₍₃₎

J₁₍₁₎

J₁₍₃₎

ами по себе являются группо-

в

m₍₃₎

ыми инерционными силовыми

ф

m₍₂₎

y₂

J₁₍₂₎

акторами из-за особенностей

р

J₂

ассматриваемой системы, а

именно – из-за наличия взаимо-

с

Рис. 1.42

вязи между некоторыми пере-

мещениями масс^*). Например, в

р

^*) В таких задачах применять формулы ( 1.123 ) и ( 1.124 ) нельзя, так как прео-

бразование ( 1.122 ) не используется.

аме ( рис. 1.42 ) при неучёте продольных деформаций стержней

число степеней свободы трёх масс равно 2. Роль степеней сво-боды играют независимые друг от друга перемещения – гори-зонтальное y₁y₁₍₁₎ массы m₍₁₎ и вертикальное y₂ массы m₍₂₎ . Го-ризонтальные перемещения масс m₍₂₎ и m₍₃₎ не являются незави-симыми – они равны y₁, т.е. y₁₍₂₎ = y₁₍₃₎ = y₁ . Вследствие этого силы инерции J₁₍₂₎ и J₁₍₃₎ оказываются зависящими от J₁₍₁₎ : J₁₍₂₎ = = k₁ J₁₍₁₎ ; J₁₍₃₎ = k₂ J₁₍₁₎ ( здесь k₁ = m₍₂₎ / m₍₁₎ ; k₂ = m₍₃₎ / m₍₁₎ ). Таким образом, первой степени свободы y₁ соответствует группа из трёх сил – J₁₍₁₎ , J₁₍₂₎ и J₁₍₃₎ , объединённых общим параметром J₁₍₁₎ .

За основное групповое неизвестное можно принять ли-

бо сумму трёх истинных сил инерции J₁₍₁₎ + J₁₍₂₎ + J₁₍₃₎ , либо их общий параметр J₁₍₁₎ .

В первом варианте = J₁₍₁₎ + J₁₍₂₎ + J₁₍₃₎ . Из условия равен-ства работ W_Jy =истинных сил инерции и групповой на со-ответствующих им перемещениях получается J₁₍₁₎ y₁₍₁₎ + J₁₍₂₎ y₁₍₂₎ +

J₁₍₃₎ y₁₍₃₎ = ( J₁₍₁₎ + J₁₍₂₎ + J₁₍₃₎ ) откуда при y₁₍₂₎ = y₁₍₃₎ = y₁₍₁₎ следует, что y₁₍₁₎ . Подставив в то же равенство работ выра-

жения сил инерции через перемещения и массы J₁₍₁₎ = m₍₁₎ ² y₁₍₁₎ ,

J₁₍₂₎ = m₍₂₎ ² y₁₍₂₎ , J₁₍₃₎ = m₍₃₎ ² y₁₍₃₎ , J₂ = m₍₂₎ ² y₂ , = ( на основании закона инерции в случае гармонических колебаний с

частотой  ), имеем: ² ( m₍₁₎+ m₍₂₎+ m₍₃₎) = – из этого соотношения при y₁₍₁₎ = y₁₍₂₎ = y₁₍₃₎ =находится приве-дённая масса соответствующая групповому неизвестному= = J₁₍₁₎ + J₁₍₂₎ + J₁₍₃₎ : m₍₁₎ + m₍₂₎ + m₍₃₎ – результат истолковывается

просто: суммарную силу инерции порождает суммарная масса ).

Тот же результат можно получить, не записывая заново условие равенства работ, а используя формулу ( 1.107 ), если перемеще-ния y₁₍₁₎ , y₁₍₂₎ , y₁₍₃₎ и y₂ объединить в исходный вектор y и при-

н

.

ять y₁₍₁₎ и y₂ в качестве обобщённых перемещений . То-гда матрица преобразования неизвестных имеет вид и==

Во втором варианте = J₁₍₁₎ . Следуя той же схеме, что и ранее, получаем J₁₍₁₎ y₁₍₁₎ + k₁ J₁₍₁₎ y₁₍₂₎ + k₂ J₁₍₁₎ y₁₍₃₎ = (*), откуда находим = y₁₍₁₎ ( 1 + k₁ + k₂ ) – иное, чем в первом варианте. Да-лее, расписывая в (*) силы инерции через массы, перемещения и

² , после сокращения на ( _y₁₍₁₎ )² определяем приведённую мас-су m₍₁₎ / ( 1 + k₁ + k₂ ).

Для конкретных значений масс m₍₁₎ = m₍₂₎ = m₍₃₎ = m приведённые массы по 1-му и 2-му вариантам получаются соответственно 3m и m / 3.

Различия в расчётах по двум вариантам состоят в следую-щем:

 в единичном состоянии при = 1 в первом варианте к систе-

ме прикладывается одна сила, равная единице, а во втором – три ( соответственно 1, k₁ и k₂ ) или одна, но равная 1 + k₁ + k₂ ;

 полученную в результате решения задачи силу инерции в первом варианте следует распределить между J₁₍₁₎ , J₁₍₂₎ и J₁₍₃₎ как

( m₍₁₎ /, ( m₍₂₎ / и ( m₍₃₎ /, а во втором варианте при-нять J₁₍₁₎ =, J₁₍₂₎ = k₁и J₁₍₃₎ = k₂.

Практическое значение имеет также случай неточечной массы m ( рис. 1.43, а ) в виде относительно тонкого ( b_m << l_m ) недеформируемого стержня, жёстко прикреплённого в точке О к несущему элементу конструкции перпендикулярно к его оси с эксцентриситетом e_m от центра тяжести массы – точки O_m .

В качестве степеней свободы массы могут рассматриваться тангенциальное y₁ и нормальное y₃ ( относительно продольной оси стержневого элемента ) линейные перемещения точки О при-крепления массы к стержню, а также угол поворота массы y₂ .

Перемещению y₁ соответствует приложенная в центре мас-сы O_m сила J₁ – равнодействующая нормальных к оси массы распределённых сил инерции ( рис. 1.43, б ). При гармонических колебаниях ( в частности, в случае собственных колебаний с час-тотой _) сила J₁ и перемещение y₁ связаны зависимостью

J₁ = ² m y₁ . ( 1.130 )

ет инерционный момент , где ,

Углу y₂ поворота массы вокруг точки О (рис. 1.43, в) отвеча-

т. е. , ( 1.131 )

где (z) – интенсивность распределённой массы;

– собственный ( относительно центра тяжести O_m ) мо-

мент инерции массы.

Для стержня с равномерно распределённой по длине массой

b_m

y₂

J₃

O_m

m

а) б) в) г)

m

q_in

m

y₃

y₃

m

dz

O_m

J₁

O_m

O_m

z

y₁

y₁

J₂

O

y₂

J₃

O

m

m

е) д)

O

J₂

J₁

Рис. 1.43

И, наконец, линейное перемещение y₃ порождает силу J₃ – равнодействующую распределённых инерционных сил, направ- ленных вдоль оси массы, которая приложена в центре массы O_m

( рис. 1.43, г ) и определяется как J₃ = ² m y₃ . ( 1.132 )

Исходный вектор инерционных силовых факторов J = = [ J₁ J₂ J₃ ]^т связан с перемещениями y = [ y₁ y₂ y₃ ]^т (рис. 1.43, а – г ) соотношением

. ( 1.133 )

Приведение силовых факторов J₁ , J₂ и J₃ к точке прикреп-ления массы О даёт группу сил и моментов, схема которой пред-ставлена на рис. 1.43, д, где = e_m J₁ .

Вместо трёх сил J₁ , J₂ , J₃ и двух моментов , J₂ можно ввести новые ( групповые ) инерционные силовые факторы ( рис. 1.43, е ) , что в матрич-ной форме представляется как

( 1.134 )

_J

C помощью матрицы преобразования _J по формуле (1.123) определяется матрица приведённых масс, соответствующих новым групповым неизвестным :

( 1.135 )

где I_m = – момент инерции массы относительно точки

прикрепления О.

Структура полученной матрицы приведённых масс свиде-тельствует о том, что силу инерции = J₃ можно учитывать не-зависимо от и , используя = y₃ и = m . Тогда для и

имеем:

( 1.136 )

Смысл обобщённых (групповых) перемещений, соответству-ющих групповым инерционным силовым факторам , раскрывается с помощью преобразования

откуда ( 1.137 )

( 1.138 )

Необходимая для формирования матрицы динамической податливости обратная матрица масс такова:

Матрица используется также для вычисления переме-щений по найденным величинам :

Частные случаи:

1) масса прикреплена к стержню в центре тяжести () –

р

а)

ис. 1.44, а : e_m = 0; I_m = I_m0 =

б)

Рис. 1.44

( 1.139 )

2) масса прикреплена к стержню концом ( рис. 1.44, б ):

e_m = l_m / 2; I_m =

( 1.140 )

Д о п о л н е н и е

y₂

Если на стержне, несущем неточечную массу m₍₁₎ = m, име-ется ещё одна – точечная – масса m₍₂₎ ( рис. 1.45 ), то в случае пренебрежения продольными дефор-

м

y₃

m₍₁₎

ациями стержня возможны два ва-

р

m₍₂₎

ианта решения:

y₅

1) перемещение второй массы y₄

формально считается независимым от

п

y₁

y₄

еремещения y₁ первой массы, и дина-

м

Рис. 1.45

ический расчёт выполняется с избы-

точной степенью свободы; тогда при

расчёте на собственные колебания в спектре частот появится лишняя частота – теоретически бесконечно большая, а практи-чески ( за счет малых погрешностей вычислений, в том числе компьютерных ) – значительно ( на несколько порядков ) больше других частот; её следует игнорировать;

2) учитывается равенство перемещений y₄ и y₁, и одно из них ( y₁ ) считается одной степенью свободы для обеих масс при их общем смещении в направлении продольной оси стержня; далее сила инерции массы m₍₂₎ , соответствующая перемещению y₄ = y₁ ,

суммируется с J₁ ( см. рис. 1.43 ), и результат принимается в ка-честве групповой силы инерции ; матрица приведённых масс, связанная с перемещениями y₁ = и y₂ = ( выражающая через них силу и инерционный момент ), в этом случае такова:

( 1.141 )

( здесь ).

Если точечных масс на стержне несколько, то вместо m₍₂₎ в формулу ( 1.141 ) подставляется сумма масс m_точечн .

Изложенная методика позволяет рассматривать и более сложные случаи, когда составляющие группового инерционного фактора имеют разные направления и, возможно, даже отлича-ются по типу – силы и моменты. Например, у четырёх сосредото-

ченных масс рамы, изображённой на рис. 1.46, всего три степе-

ни свободы ( если не учитывать продольные деформации стерж-

ней ), хотя число ком-

п

m₍₁₎ , I_m(1)

J₁₍₁₎

y₁₍₁₎

 = y₁₍₂₎

l

онентов перемещений

м

EI =

m₍₂₎

y₁

асс равно пяти, в том

ч

y₂

y₃

исле угол поворота y₁₍₂₎

н

m₍₄₎

J₃

J₁₍₂₎

J₁

h

еточечной массы m₍₁₎ .



m₍₃₎

J₂

Из схемы дефор-

м

y₁₍₂₎

аций рамы ( рис. 1.46 )

в

Рис. 1.46

идно, что горизонталь-

ное перемещение y₁₍₁₎

массы m₍₂₎ и угол поворота y₁₍₂₎ массы m₍₁₎ можно выразить через линейное перемещение y₁ массы m₍₁₎ : y₁₍₁₎ = y₁ sin , y₁₍₂₎

= ( y₁ cos  ) / l . Приняв y₁ за обобщённое перемещение, в матрич-ной записи имеем [ y₁₍₁₎ y₁₍₂₎ ]^т =  y₁ = [ sin ( cos  ) / l ]^т y₁ и, на основании ( 1.107 ),

= ( m₍₁₎ + m₍₂₎ ) sin²  + I_m0 ( cos²  ) / l².

Обобщённая сила инерции, соответствующая y₁, равна, по (1.108), = ( J₁₍₁₎ + J₁ sin _sin J₁₍₂₎ (cos )/l =

= k_m J₁ , где k_m = .

Из закона инерции ( 1.2 ) находим, что J₁ : J₁₍₁₎ : J₁₍₂₎ = 1: m₍₂₎ / m₍₁₎ : : ( I_m0 cos  ) / ( m₍₁₎ l ). Исходя из этого, в единичном состоянии при задании нужно одновременно приложить к раме силы J₁ = 1/ k_m , J₁₍₁₎ = m₍₂₎ / ( k_m m₍₁₎ ) и момент J₁₍₂₎ = ( I_m0 cos  ) / (k_m m₍₁₎ l ).

В системах со сложной геометрией выявление зависимостей между компонентами перемещений масс может вызывать затруднения. В таких случаях можно обойтись без введения групповых неизвестных, пренебрегая взаимозависимостью перемещений, т. е. завышая число степеней свободы масс в сравнении с истинным. Последствия этого обсуждены в конце п. 1.5.4.3, где констатирована безопасность указан-ного приёма.

В качестве примера рассмотрим задачу о собственных колебаниях про-

с

y₂

J₁

той рамы ( рис. 1.47, а ). Число степеней свободы трёх масс, в пренебрежении продольными деформациям стержней, n = 2 ( вертикальное перемещение y₁ сред-ней массы и общее горизонтальное перемещение y₂ ). Им соответствуют силы инерции J₁ и J₂ = J₂₍₁₎ + J₂₍₂₎ + J₂₍₃₎ и ( рис. 1.47, б ) . Матрица приведённых масс m = diag [ m₁ m₂ ] , где m₁ = m₍₂₎ , m₂= m₍₁₎ + m₍₂₎ + m₍₃₎ .

m₍₂₎

m₍₃₎

m₍₁₎

J₂₍₁₎

J₂₍₃₎

а) б)

l/2

EI₂

y₁

J₂₍₂₎

EI₁

EI₁

l/2

h/2

h/2

h/2

M₁

M₂

в) г)

Рис. 1.47

Уравнения собственных колебаний в амплитудах сил инерции:

частоты: ₁=_min = и ₂ =.

Уравнение частот: . С учётом того, что ₁₂ = ₂₁ = 0 (так как эпюра M₁ симметричная, а M₂ обратносимметричная ), это уравнение принима-ет вид , откуда и – из этих условий находятся две

Если игнорировать взаимозависимость перемещений масс, то дополни-тельно к y₁ и y₂ степенями свободы формально будут горизонтальные переме-щения средней и правой массы – соответственно y₃ и y₄ , то есть n = 4 . В этом случае за J₂ принимается сила инерции J₂₍₁₎ левой массы, а силы J₂₍₂₎ и J₂₍₃₎ рассматриваются как J₃ и J₄ ; матрица масс m = diag [ m₍₂₎ m₍₁₎ m₍₂₎ m₍₃₎ ]. Эпюры моментов M₃ и M₄ от единичных J₃ и J₄ совпадают с M₂ , вследствие чего ₂₂ = ₃₃ = ₄₄ = ₂₃ = ₂₄ = ₃₄ ; ₁₂ = ₂₁ = ₁₃ = ₃₁= ₁₄ = ₄₁ = 0. Уравнение частот: ,

откуда ( * )

где  = 1/(m₍₁₎² ₂₂); B₃ = m₍₁₎ / m₍₂₎ ; B₄ = m₍₁₎ / m₍₃₎ .

Первое из уравнений ( * ) позволяет сразу определить одну из частот (вторую): ₂ =, а второе приводится к виду

[ B₃ + B₄ + B₃ B₄ ( 1 –  ) ]= 0

и даёт ₁= 1 + , а также _{3, 4} =. Соответствующие частоты: ₁=_min =; ₃ = ₄ =.

Из найденных таким способом частот две первые – такие же, как в основ-ном решении, а две бесконечно большие – побочный результат, являющийся следствием формального завышения числа степеней свободы масс.

В практических компьютерных расчётах конструкций с помощью программ-ных комплексов, реализующих метод конечных элементов, как правило, учиты-ваются все виды деформаций, в том числе продольные для стержней. Вследст-вие этого число степеней свободы масс и, соответственно, частот и форм собст-венных колебаний оказывается больше, чем при использовании расчётной схе-мы с зависимыми перемещениями масс. Формы колебаний, появляющиеся как дополнительные из-за учёта удлинений / укорочений элементов, характеризуются преобладанием именно этого вида деформации. Следует заметить, что в таком решении просто не возникает расчётных проблем, обусловленных взаимозави-симостью перемещений масс. Конечно, необходимо учитывать взаимосвязи ди-намических параметров неточечных масс, – так, как описано ранее, – при фор-мировании недиагональной матрицы масс, но это не имеет отношения к учёту продольных деформаций.

При таком подходе для рассматриваемой

системы число степеней свободы масс n = 6.

Приняв m₍₁₎ = m₍₃₎

m₍₂₎

m₍₁₎

m₍₁₎

( для получения компактного

и

EI₂

EI₁

EI₁

EA₁

EA₂

просто истолковываемого решения ), имеем

с

EA₁

имметричную систему ( рис. 1.48). Несмотря на

то, что в вышеупомянутом МКЭ расчёт выпол-

н

Рис. 1.48

яется в перемещениях, используем в качестве

основных неизвестных амплитуды групповых

инерционных сил ( симметричных и обратносимметричных ), чтобы иметь воз-можность сопоставления с предыдущими результатами.

Для удобства номера с 1 до 3 присвоены симметричным неизвестным,

а с 4 до 6 – обратносимметричным. На рис. 1.49 показаны единичные состояния системы, где эпюры изгибающих моментов совмещены со схемой рамы.

N_р1= – H₁

H₁h

N_р2= 0

N_р3= – 1

1/2

1/2

H₁

1

1

1

1

N_р5= 0

1/2

1/2

N_рl,4= 1/2

h/2

h/l

h/l

2h/l

2h/l

1

1

N_р6= 0

H₁

h

h

N_рr,4= –1/2

Рис. 1.49

Для определения шести частот собственных колебаний служат два неза-висимых частотных уравнения и – из первого на-

ходятся частоты трёх симметричных главных форм, а из второго – трёх обратно-

симметричных. Групповые единичные перемещения – компоненты матриц упру-

гой податливостиивычисляем методом Максвелла – Мора с учётом из-гиба и продольных деформаций стержней рамы. Эпюра моментов ( рис. 1.49 ) совпадает с M₁ на рис. 1.47, а – с M₂ ; . Учитывая это и исполь-

зуя обозначения перемещений ₁₁ и ₂₂ из предыдущей задачи, имеем:

Обозначив h / (EA₁) = ₁ , l / (EA₂) = ₂ ,

получаем

Заметим, что ₁ ₂ << ₁₁₂₂ . Для получения количественных оценок

примем h = l , EA₁ = EA₂ , EI₁ = EI₂ , тогда ₁ = ₂ = ; H₁ = 3/40; ₁₁ = = (11/240) ₂₂ ; ₂₂ = (1/4) l³ / EI .

Уравнения частот собственных колебаний:

()

Умножив каждый из определителей на и введя собственное число  = = 2 / (₂₂ m₍₁₎ ²) = 8EI/ (m₍₁₎ l^²), представляем уравнения в следующем виде:

где a₁ = m₍₂₎ / m₍₁₎ ;  =  / ₂₂ = 4EI / (l²EA) = 4(i / l) ² – здесь i – радиус инерции

сечения.

Численные результаты получим при m₍₂₎ = 2 m₍₁₎ и i / l = 0,04^*) :

( ♠ )

,

.

^*) Такое значение i / l соответствует элементам из прокатных двутавров, для которых i

( h_c – высота сечения), при h_c = l /10.

Корни первого частотного уравнения: _s1 = 0,19717; _s2 = 0,01191; _s3 = 0,00639; второго – _as1 = 8,10576;  _as2 = 0,01264;  _as3 = 0,00320.

В порядке убывания собственные числа образуют последовательность _as1, _s1, _as2, _s2 , _s3, _as3 ; ей соответствует спектр частот собственных коле-баний ₁ : ₂ : ₃ : ₄ : ₅ : ₆ = 1 : 6,41 : 25,32 : 26,09 : 35,62 : 50,33, где

₁ = 0,9935. Это решение следует рассматривать как уточнённое.

Собственные векторы действительных ( негрупповых ) перемещений:

_y(1) = [ 0 0 0 1 0,0063 0,9992 ] ^т ; _y(2) = [ 1 – 0,0694 0,0050 0 0 0 ] ^т ; _y(3) = [ 0 0 0 – 0,0042 1 – 0,0021 ] ^т ; _y(4) = [ 0,0695 1 0,0121 0 0 0 ] ^т ;

_y(5) = [ – 0,0058 – 0,0117 1 0 0 0 ] ^т ; _y(6) = [ 0 0 0 – 0,9992 – 0,0107 1 ] ^т .

1

В главных формах колебаний

с

1

частотами ₁ и ₂ ( рис. 1.50 ) пре-

обладают деформации изгиба стер-

ж

₁

₂

ней при очень небольших их удли-

нениях / укорочениях. Остальным ча-

стотам ₃ ... ₆ отвечают формы с

д

1

1

1

1

1

1

1

оминирующим растяжением / сжа-

1

1

₅

₆

₃

₄

Рис. 1.50

тием элементов. Правда, и в них присутствует изгиб, но с перемещениями того же порядка, что и абсолютные продольные деформации стоек и ригеля.

Обратим внимание на 6-ю главную форму – в ней крайние массы движутся по горизонтали в направлении, противоположном перемещению средней массы.

Частоты трёх главных форм, мало отличающихся по деформациям от 2-го, 3-го и 5-го состояний на рис. 1.49 ( с преобладанием продольных деформаций элементов ), с удовлетворительной точностью могут быть найдены из частотных уравнений с компонентами матрицы упругой податливости, отражающими толь-ко деформации растяжения / сжатия стержней – они получаются из () исключе-

нием столбцов и строк, содержащих ₂₂ ( перемещение, обусловленное изгибом ):

откуда _{s(N), 1} = 0,0128 ; _{s(N), 2} = 0,0064 ; _as(N) = 0,0128 ( ср. с _s2 , _s3 и _as2 ).

Если продольные деформации стержней не учитывать ( т.е. вернуться к схеме по рис. 1.47, б – формально это означает задание EA =), то  = 0, и уравнения ( ♠ ) принимают вид

или ² (0,045833 – 0,25 ) = 0 и – 0,25 [(4 –  )² – 16 ] = 0 – их корнями являются _s1 = 0,18333; _s2 = _s3 = 0; _as1 = 8;  _as2 =  _as3 = 0. Сравнение с

полученным выше более точным результатом показывает, что минимальная частота ( для обратносимметричной главной формы ) без удлинений / укорочений стержней опре-деляется с погрешностью 0,66 % , а частота второй ( симметричной ) изгибной формы колебаний – с завышением на 3,7 %. Четырём нулевым собственным значениям отве-чают четыре бесконечно большие ( фиктивные ) частоты.

Рассмотренная модельная задача служит иллюстрацией к выводу, который следует иметь в виду при выполнении практических динамических расчётов:

влияние продольных деформаций в системах с преобладающим изгибом элементов ( как стержневых, так и пластинчато-оболочечных ) сказывается в большей степени на высокочастотных параметрах динамического процесса – частотах обертонов собственных колебаний или характе-ристиках НДС при высокочастотных воздействиях на сооружение или конструкцию.

Отметим, что аналогично, и даже значительнее, на динамические свойст-ва и поведение системы влияют деформации сдвига^*). Поэтому для повышения точности результатов динамического расчёта необходимо при определении характеристик жёсткости и / или податливости системы ( матриц r и  ) использо-вать наряду с жёсткостями сечений элементов при растяжении / сжатии EA_j так-

же и сдвиговые жёсткости GA_j /k_{ j} ( либо приведённые жёсткости при попе-

речном изгибе ).