1.5.4. Свободное движение и собственные колебания

Само по себе свободное движение сооружения или конст-рукции в отсутствие динамических нагрузок или кинематичес-ких возмущений практического интереса, как правило, не пред-ставляет. Исследование его бывает необходимо для определения начальных условий движения в момент возобновления воздей-ствия, когда полного затухания ранее возбуждённых свободных колебаний ещё не произошло.

1.5.4.1. Уравнения свободного движения, их решение;

случай собственных колебаний

Уравнения для общего случая свободного движения ( с учё-том затухания вследствие диссипации энергии ) приведены в табл. 1.4. В варианте 1₀А₀ – в перемещениях и с использованием матрицы податливости системы развёрнутый вид этих уравне-ний таков:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1.43)

С матрицей жёсткости ( 1₀Б₀ ):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.44 )

Общее решение систем однородных дифференциальных уравнений может быть представлено в виде [ 1 ] :

y_i (t) = ( 1.45 )

о

y_ij (t)

T_j

T_j

ткуда видно, что все составляющие перемещений масс описы-ваются во времени линейными

комбинациями затухающих гар-

м

A_ij

оник ( j-я из них изображена

н

t

а рис. 1.22 ).

A_ij

При отсутствии или пре-

небрежимо малом рассеянии

энергии ( _j = 0, j = 1, 2, …, n ) Рис. 1.22

y_i (t) = ( 1.46 ) – незатухающее полигармони-

ческое движение по направлению i-й степени свободы.

Для определения начальных амплитуд A_ij и фаз _0j состав-ляются и решаются 2n уравнений, выражающих начальные ус-ловия движения ( в перемещениях y_i (0) и скоростях) всех масс, а угловые частоты _j находятся решением особого урав-нения, смысл которого будет раскрыт в п. 1.5.4.2.

Особое значение в динамическом расчёте сооружения ( кон-струкции ) имеет рассмотрение частного случая свободного дви-жения – собственных колебаний, при которых, по определению ( см. с. 11 ), все массы движутся синфазно моногармонически, с образованием незатухающих стоячих волн перемещений и де-формаций, описываемых условием ( 1.1 ). Собственные колеба-ния, в точном смысле, возможны лишь в консервативных ( иде-альных ) системах при строго определённом задании начальных условий движения масс. Несмотря на это, расчёты на собствен-ные колебания актуальны и для реальных систем – при этом в подавляющем большинстве случаев пренебрегают диссипатив-ными факторами, поскольку их влияние на частоты и формы ко-лебаний сооружений и строительных конструкций в большин-стве случаев незначительно ( см. с. 44 ).

Заметим, что есть методы определения собственных частот с учётом диссипа-ции ( в частности, с использованием обобщённых комплексных характеристик упругости материала [ 1 ] ) , так как иногда игнорировать её влияние нельзя, например, для под-земных сооружений в водонасыщеных вязких грунтах. Нужно также знать, что даже будучи несущественным для низкочастотных форм собственных колебаний, рассеяние энергии может сказываться в большей степени в высокочастотных колебаниях, и тогда не следует пренебрегать им при нахождении соответстствующих частот и главных форм.

Запишем в развёрнутом виде все варианты уравнений соб-ственных колебаний консервативной линейно деформируемой системы с конечным числом степеней свободы масс, согласно табл. 1.5.

 С использованием матрицы податливости заданной

системы:

 – в амплитудах перемещений масс ( в каждом уравне-

нии объединены по два слагаемых, содержащих y_i с номером уравнения; все члены разделены на ²):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.47 )

 – в амплитудах инерционных силовых факторов

( с объединением слагаемых, содержащих J_i в i-м уравнении ):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.48 )

 С использованием матрицы жёсткости заданной системы:

 – в амплитудах перемещений масс:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.49 )

 – в амплитудах инерционных силовых факторов:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

вестными – ( 1.47 ) и ( 1.49 ), ( 1.48 ) и ( 1.50 ) – видно, что наибо-

( 1.50 )

Из сравнения уравнений в вариантах с одинаковыми неиз-

лее компактными ( содержащими характеристики инертности системы – приведённые массы – только в n диагональных коэф-фициентах при неизвестных ) являются:

– при использовании амплитуд сил инерции масс в качестве не-известных – ( 1.48 );

– в амплитудах перемещений масс – ( 1.49 ).

Матричная запись уравнений ( 1.48 ):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( 1.51 )

y₃

J_{n – 1}

J₁

Расчётная схема ( модель ) заданной системы, описываемая уравнениями ( 1.51 ), пред-

с

y₁

J_n

J₃

тавлена на рис. 1.23 –

д

y_{n – 1}

J₂

ля простоты изображения

и

y_n

восприятия как плоская

с

y₂

y_i

y_k

тержневая, вместо кото-

р

J_k

J_i

ой можно подразумевать

любую линейно деформи-

руемую систему.

Рис. 1.23

В соответствии с ги-

потезами и предпосылка-

ми линейной теории динамики сооружений ( см. с. 15 ), а также смыслом уравнений ( 1.51 ), система рассматривается в состоя-нии амплитудного отклонения от исходного положения стати-ческого равновесия, обозначенного штриховыми линиями как условно недеформированное. Согласно выводу, сделанному на с. 41, амплитуды инерционных силовых факторов и соответст-вующих им перемещений показаны совпадающими по направле-ниям.

Напомним, что систему можно было бы представлять как невесомую, без масс, которые сохранены в расчётной схеме лишь как указание на источник возникновения д’аламберовых инерционных сил. Кроме пренебрежения дис-сипацией энергии, никаких ограничений – ни по типу системы ( плоская или про-странственная, стержневая, пластинчато-оболочечная или континуальная ), ни по виду её напряжённо-деформированного состояния, ни по характеру связей ( дис-кретные или распределенные типа упругого основания ) – не вводится.

Цель расчета – определение частот собственных колеба-ний системы и выявление соответствующих им главных форм колебаний.

Как следует из соображений, приведённых в пп. 1.5.1 и 1.5.2, уравнения ( 1.51 ) ( иногда называемые, по внешнему сход-ству с уравнениями классического метода сил, каноническими уравнениями собственных колебаний ) выражают амплитуды y перемещений масс через амплитуды J инерционных силовых факторов.

Матрица коэффициентов уравнений ( 1.51 ) называется матрицей динамической податливости заданной системы по направлениям сил инерции. Она выражается через матрицу упру-гой податливости , матрицу относительных масс a и частоту собственных колебаний  ( или связанное с ней собственное число _):

=  – ( m₀ ² ) ^–1 a ^–1  –  a ^–1 , ( 1.52 )

где a = a₁ … a_i … a_n = =

( здесь для краткости символом  обозначена величина ₀ со с. 14 ).

Динамические поправки содержатся только в диагональ-ных компонентах^*) матрицы :

= _ii – 1/ ( ²) _ii – _/a_i ( a_i =), i = 1, 2, ..., n. ( 1.53 )

Матрица динамической податливости является обобщён-ной динамической характеристикой линейно деформируемой системы при определённом виде её движения, поскольку содержит в себе данные, количественно описывающие

а) упругие свойства системы – посредством матрицы , учитывающей ее геометрические, структурные и жесткостные особенности;

б) инерционные качества системы – через характеристики масс m₀ и a либо непосредственно, а также через выбор опре-делённых ( согласно степеням свободы масс ) направлений пере-мещений _ik в матрице упругой податливости ;

^*) В дальнейшем будут рассмотрены особые случаи с недиагональным

расположением днамических поправок.

в) пространственный и временной аспекты движения – посредством частоты , относящейся, по определению, к такому особому случаю движения системы, в котором все её массы син-фазно совершают моногармонические колебания по ( 1.1 ), при-чём конкретному значению  ( характеризующему развитие про-цесса во времени ) отвечает определённая главная форма ( про-странственное описание движения ).