1.3.2. Питання для самоперевірки

1. Сформулювати задачу апроксимації. З яких етапів складається апроксимація типових розподілів?

2. Назвати узагальнені числові характеристики вибірки, формули, за якими їх обчислюють, та їх головне призначення.

3. Дати означення моментів вибіркового розподілу досліджуваної випадкової величини та вказати їх властивості.

4. З яких міркувань обирають певний закон розподілу для опису випадкової величини, над якою здійснюють експеримент або спостереження?

5. Як можна вибирати закон розподілу випадкової величини в залежності від значення її коефіцієнта варіації?

6. Що називають законом розподілу випадкової величини? Назвати відомі вам закони розподілу дискретних і неперервних випадкових величин.

7. Скласти план побудови теоретичного закону розподілу дискретної випадкової величини за законом Пуассона.

8. Скласти план побудови показникового закону розподілу випадкової величини.

9. Скласти план побудови нормального закону розподілу неперервної випадкової величини за допомогою щільності ймовірності.

10. Вказати формули оцінок параметрів невідомого закону розподілу по ЕД?

1.4. Критерії узгодження

Для побудови теоретичної кривої розподілу вихідні ЕД апроксимують функцією розподілу або щільністю розподілу деякого теоретичного закону. При цьому вибирають таку функцію або , що забезпечувала б максимальне наближення теоретичних даних до емпіричних. Для оцінки правдоподібності цього підбора розроблено критерії узгодження гіпотез, що перевіряються, щодо виду шуканої функції або .

Таким чином, стосовно до обраного закону розподілу проводиться перевірка гіпотези про те, що наявна вибірка може бути розподілена за цим законом. Якщо гіпотезу не відхиляють, то можна вважати, що задачу апроксимації розв'язано. Якщо гіпотезу відхиляють, то можливі наступні дії: зміна значень оцінок параметрів розподілу; вибір іншого виду закону розподілу; продовження спостережень; поповнення вибірки.

При розгляданні попередніх задач порівняння емпіричних і теоретичних частот свідчить про те, що вони близькі за значеннями, але повністю не збігаються. Зазвичай емпіричні і теоретичні частоти відрізняються. Чи є випадковою розбіжність частот? Критерії узгодження дають відповідь на це питання, щоправда, не доводять справедливість гіпотези в строго математичному змісті, а лише встановлюють на певному рівні значущості її згоду або незгоду з ЕД.

Розбіжності між фактичними і теоретичними частотами можна пояснити за допомогою двох тверджень:

1. Емпіричні і теоретичні частоти не суперечать одні одним, а розбіжності між ними необхідно вважати випадковими в силу випадковості вибору елементів дослідження. Висунуте припущення про розподіл ознаки за обраним теоретичним законом варто визнати вірним.

2. Розбіжності між теоретичними і фактичними частотами пояснити випадковістю неможливо. Розподіл ознаки за обраним законом необхідно визнати помилковим. Варто ретельніше вивчити варіаційний ряд і спробувати підібрати інший закон, що точніше враховує особливості емпіричного матеріалу.

Для вибору між цими двома висновками застосовують критерії узгодження.

Під критерієм узгодження розуміють деяку величину , що відображає кількісну міру розбіжності гіпотетичного і емпіричного розподілів. Цю величину можна вибрати багатьма способами, відповідно до яких утворюються і різні критерії перевірки висунутої гіпотези. Наприклад, можна покласти  або в якості критерію узгодження вибрати величину . У першому випадку одержуємо критерій Колмогорова, у другому – критерій Мізеса.

Схема застосування критерію узгодження

Візьмемо величину настільки малою, щоб здійснення події з імовірністю можна було вважати практично неможливим в одиничному спостереженні. Знаючи закон розподілу випадкової величини , знайдемо її можливе значення з рівняння . По ЕД обчислимо значення критерію узгодження . Якщо виявиться, що , то це значить, що відбулася практично неймовірна подія. Отже, експеримент спростовує нашу гіпотезу, і вона відхиляється. При цьому ймовірність того, що ми відхилили вірну гіпотезу, дорівнює . Якщо , то гіпотеза не суперечить експерименту і повинна бути прийнята.

Число називають рівнем значущості критерію і залежно від поставлених перед експериментатором задач вибирають від 0,01 до 0,1, найчастіше 0,05.

Найбільш уживаними критеріями узгодження є критерій К.Пірсона, критерій А.М.Колмогорова, критерій Б.С.Ястремського, критерій В.І. Романовського. Найбільш універсальним з них є –критерій Пірсона, тому що він застосовний до будь-якого виду розподілу.