- •Міністерство освіти і науки україни
- •Формування експериментальних законів розподілу
- •1. Апроксимація закону розподілу одномірних експериментальних даних
- •1.1. Задачі апроксимації
- •1.2. Типові закони розподілу випадкової величини
- •1.2.1. Геометричний розподіл
- •1.2.2. Біноміальний розподіл
- •1.2.3. Розподіл Пуассона
- •1.2.4. Рівномірний розподіл
- •1.2.5. Нормальний розподіл (розподіл Гауса)
- •1.2.6. Логарифмічно нормальний розподіл
- •1.2.7. Експоненціальний (показниковий) розподіл
- •1.2.8. Розподіл Вейбула
- •1.2.9. Гамма-розподіл
- •1.3.1. Оцінка параметрів закону розподілу
- •1.3.1. Приклади побудови деяких законів розподілу
- •1.3.2. Питання для самоперевірки
- •1.4. Критерії узгодження
- •1.4.1. Критерій узгодження к.Пірсона
- •1.4.2. Критерій узгодження а.М.Колмогорова
- •1.4.3. Критерій узгодження б.С.Ястремського
- •1.4.4. Критерій в.І.Романовського
- •1.4.5. Питання для самоперевірки
- •2. Планування експерименту
- •2.1. Планування і обробка результатів експериментів при багатофакторному методі дослідження
- •2.2. Побудова математичної моделі у випадку двох факторів
- •2.3. Знаходження оптимальних умов проведення експерименту методом руху по градієнту
- •2.4. Питання для самоперевірки
- •3. Індивідуальні завдання для самостійної роботи студентів
- •Література
- •Предметний покажчик
- •Додаток 3
- •Критерій Колмогорова
- •Формування експериментальних законів Розподілу
- •83050, М. Донецьк, вул. Щорса, 31
- •83023, М. Донецьк, вул. Харитонова, 10. Тел.: (062)97-60-50
1.3.1. Оцінка параметрів закону розподілу
Після вибору відповідного виду розподілу проводиться оцінка його параметрів за допомогою методів максимальної правдоподібності або моментів. Оцінкою параметра називають його наближене значення, побудоване по вибірці спостережень.
У табл.2 представлено оцінки параметрів деяких наведених вище розподілів, що обчислюють по отриманим у результаті експерименту даним.
Таблиця 2
Дискретні і неперервні статистичні розподіли
Тип розподілу |
Характеристики розподілу |
Оцінка параметрів розподілу за вибірковим даними |
Пуассона |
|
|
Нормальне (Гауса)
|
|
|
Логарифмічно нормальне |
|
|
Експоненціальне |
|
|
Перевага застосування типових законів розподілу складається в їхній добрій вивченості і можливості одержання консистентних, незміщених і ефективних оцінок параметрів.
1.3.1. Приклади побудови деяких законів розподілу
Приклад 1: побудова закону Пуассона за ЕД
Аналізуючи дискретну випадкову величину, для якої можливі значення повинні бути лише послідовними цілими числами, а вибіркові середнє і дисперсія мало відрізняються одне від одного, можна чекати, що ЕД будуть досить точно описуватися законом розподілу Пуассона.
У результаті проведення експерименту – реєстрації кількості значень згасання сигналу на частоті 1000 Гц каналу телефонної мережі – отримано емпіричний варіаційний ряд
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
42 |
156 |
294 |
403 |
410 |
329 |
225 |
157 |
54 |
17 |
8 |
4 |
1 |
Обсяг вибірки становить .
У припущенні про розподіл ознаки за законом Пуассона побудувати теоретичний закон розподілу досліджуваної ознаки.
Розв'язання: для знаходження теоретичного закону треба:
-
обчислити вибіркові середнє і дисперсію;
-
переконатися в тому, що вони мало відрізняються;
-
вибрати як параметр розподілу величину вибіркового середнього ;
-
обчислити теоретичні частоти за побудованим розподілом Пуассона.
Досліджувана ознака – кількість значень загасань сигналу – приймає лише послідовні цілочисельні значення.
Обчислимо вибіркові середнє і дисперсію:
Оскільки і приблизно рівні, то ми маємо підстави припустити, що дана вибірка розподілена за законом Пуассона (7) з параметром
, де . (16)
Величина коефіцієнта варіації (15)
також свідчить про те, що експериментальний розподіл може бути близьким до розподілу Пуассона (див. табл.1).
Обчислимо теоретичні частоти , (нагадаємо, що значення функції Пуассона (7) у випадку (16) знаходять у додатку 1 при ).
Для обчислення теоретичних частот за побудованим законом розподілу зручно розташувати допоміжні розрахунки у вигляді табл.3.
Таблиця 3
Розрахунок теоретичних частот за законом Пуассона
|
||||
0 |
0,0183 |
38,43 |
38 |
42 |
1 |
0,0733 |
153,93 |
154 |
156 |
2 |
0,1465 |
307,65 |
308 |
294 |
3 |
0,1954 |
410,34 |
410 |
403 |
4 |
0,1954 |
410,34 |
410 |
410 |
5 |
0,1563 |
328,23 |
328 |
329 |
6 |
0,1042 |
218,82 |
219 |
225 |
7 |
0,0595 |
124,95 |
125 |
157 |
8 |
0,0298 |
62,58 |
63 |
54 |
9 |
0,0132 |
27,72 |
28 |
17 |
10 |
0,0053 |
11,13 |
11 |
8 |
11 |
0,0019 |
3,99 |
4 |
4 |
12 |
0,0006 |
1,26 |
2 |
1 |
0,9997 |
|
2100 |
2100 |
На рис.15 наведено полігони емпіричних і теоретичних частот даного розподілу.
Рис.15 Порівняння теоретичнх і емпіричних частот
Слід зазначити, що сума ймовірностей всіх можливих значень із другого стовпця табл.3 незначно відрізняється від одиниці, а при знаходженні теоретичних частот шляхом округлення величин для останнього значення замість 1 прийнято 2, оскільки сума теоретичних і експериментальних частот повинні збігатися.
Приклад 2: побудова показникового закону за ЕД
На АТС отримано інтервальний розподіл часу обслуговування 60 заявок:
|
0–5 |
5–10 |
10–15 |
15–20 |
20–25 |
25–30 |
30–35 |
|
30 |
16 |
7 |
3 |
2 |
1 |
1 |
Тут – час обслуговування одного клієнта; – кількість клієнтів, які були обслужені за час . Загальна кількість заявок складає обсяг вибірки .
У припущенні про розподіл ознаки за показниковим законом побудувати теоретичний закон розподілу досліджуваної ознаки.
Розв'язання: для обчислення вибіркових середнього і середнього квадратичного відхилення варто спочатку перейти до дискретного розподілу, взявши за можливі значення середини статистичних інтервалів:
|
2,5 |
7,5 |
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
|
30 |
16 |
7 |
3 |
2 |
1 |
1 |
Для величин середнього і середнього квадратичного відхилення відсутнє повний збіг їхніх значень , але спробуємо все-таки обчислити теоретичні частоти за допомогою показникового закону (12) з параметром
.
Значення коефіцієнта варіації (15)
близько до одиниці і тому можна висунути гіпотезу про розподіл ознаки за експоненціальним законом.
Функція і щільність розподілу мають вигляд
(17)
(18)
Теоретичні частоти обчислюємо на основі щільності ймовірності (18) , тут – довжини інтервалів розподілу (див. табл.4).
Таблиця 4
Розрахунок теоретичних частот
|
|
|
|
|
2,5 |
0,0987 |
29,61 |
30 |
30 |
7,5 |
0,049 |
14,7 |
15 |
16 |
12,5 |
0,0243 |
7,29 |
7 |
7 |
17,5 |
0,0121 |
3,63 |
4 |
3 |
22,5 |
0,006 |
1,8 |
2 |
2 |
27,5 |
0,003 |
0,9 |
1 |
1 |
32,5 |
0,0015 |
0,45 |
1 |
1 |
|
0,1946 |
|
60 |
60 |
Помітимо, що, незважаючи на деяку відмінність значень середнього і середнього квадратичного відхилення, теоретичні і емпіричні частоти майже збігаються (див. рис.16).
Рис.16. Гістограми теоретичних і емпіричних частот
Приклад 3: побудова нормального закону за ЕД за допомогою функції розподілу
ВТК перевірив час обробки (у хвилинах) 200 деталей. У результаті отримано вибірку, яка задана інтервальним розподілом:
|
0–2 |
2–4 |
4–6 |
6–8 |
8–10 |
10–12 |
12–14 |
|
2 |
12 |
44 |
92 |
38 |
11 |
1 |
У припущенні про нормальний розподіл вибіркової сукупності побудувати теоретичний закон досліджуваної ознаки на основі функції розподілу.
Розв'язання: емпіричні частоти влучення в інтервал задано, визначимо теоретичні частоти, припускаючи, що генеральна сукупність розподілена за нормальним законом.
Весь інтервал спостережених значень випадкової величини (вибірки обсягу ) уже розбито на часткових інтервалів однакової довжини. Аналогічно прикладу 2 перейдемо до середин часткових інтервалів:
|
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
|
2 |
12 |
44 |
92 |
38 |
11 |
1 |
Обчислимо і .
Значення коефіцієнта варіації свідчить про те, що можна висунути гіпотезу про розподіл ознаки за нормальним законом (див. табл.1).
Параметри розподілу є такими ; , тоді . Теоретична функція розподілу і щільність ймовірності мають вигляд
, (19)
. (20)
Для побудови теоретичних частот на основі функції розподілу , яка визначається формулою (19), варто спочатку обчислити умовні варіанти і , потім по таблицях (додаток 3), що складено для функції Лапласа , знайти і . Теоретичні частоти визначають за формулою , причому самі значення теоретичних частот зазвичай округляють до цілих чисел, щоб одержати обсяг вибірки . Обчислення зручно представити у вигляді табл.5.
Таблиця 5
Розрахунок теоретичних частот
|
|
|
|
|
|
|
|
0–2 |
2 |
-2,443 |
-3,442 |
-0,4927 |
-0,4997 |
1,39 |
1 |
2–4 |
12 |
-1,444 |
-2,443 |
-0,4251 |
-0,4927 |
13,52 |
14 |
4–6 |
44 |
-0,445 |
-1,444 |
-0,1736 |
-0,4251 |
50,30 |
50 |
6–8 |
92 |
0,5544 |
-0,445 |
0,2088 |
-0,1736 |
76,48 |
77 |
8–10 |
38 |
1,5534 |
0,5544 |
0,4394 |
0,2088 |
46,12 |
46 |
10–12 |
11 |
2,5524 |
1,5534 |
0,4948 |
0,4394 |
11,08 |
11 |
12–14 |
1 |
3,5514 |
2,5524 |
0,4998 |
0,4948 |
1,00 |
1 |
|
200 |
|
|
|
|
|
200 |
Спостерігається деяка розбіжність емпіричних і теоретичних частот ( рис.17).
Рис.17. Гістограми теоретичних і емпіричних частот
Приклад 4: побудова нормального закону за ЕД за допомогою щільності розподілу
Побудуємо теоретичні частоти для ЭД з прикладу 3, засновуючи розрахунки на отриманому виразі (20) для щільності ймовірності.
Розв'язання: для проведення обчислень варто перейти до середин інтервалів і обчислити умовні варіанти , потім обчислити значення функції для умовних варіант (див. додаток 2). Теоретичні частоти знаходять за формулою , де – обсяг вибірки, – довжина часткових інтервалів. Розрахунки наведено в табл. 6.
Таблиця 6
Розрахунок теоретичних частот
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
-2,942 |
0,00530 |
1,0589411 |
1 |
3 |
12 |
-1,943 |
0,06077 |
12,141858 |
12 |
5 |
44 |
-0,944 |
0,25647 |
51,242757 |
51 |
7 |
92 |
0,0549 |
0,39822 |
79,564436 |
79 |
9 |
38 |
1,0539 |
0,22988 |
45,93007 |
46 |
11 |
11 |
2,0529 |
0,04879 |
9,7482518 |
10 |
13 |
1 |
3,0519 |
0,00381 |
0,7612388 |
1 |
200 |
|
|
|
200 |
На рис.18 показані полігони теоретичних і емпіричних частот даного статистичного розподілу.
Рис.18. Полігони теоретичних і емпіричних частот
Слід зауважити, що у випадку вихідного дискретного статистичного розподілу теоретичні частоти за допомогою щільності ймовірності визначають на основі цього розподілу, а для побудови теоретичних частот за допомогою функції розподілу переходять до інтервального розподілу, середини інтервалів якого збігаються зі значеннями .