Міністерство освіти і науки україни

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЕКОНОМІКИ І ТОРГІВЛІ

імені Михайла Туган-Барановського

Кафедра вищої і прикладної математики

О.К.Щетініна, А.А.Павліченко

Формування експериментальних законів розподілу

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

для студентів денної форми навчання

за напрямом підготовки «Машинобудування»

(в рамках КМСОНП)

	Затверджено на засіданні кафедри вищої і прикладної математики Протокол № 26 від 01.04.2009р.
	Схвалено навчально-методичною радою ДонНУЕТ Протокол № від

Донецьк 2009

ББК 22.172я73

Щ 70

УДК 519.224(075.8)

Рецензенти:

канд. фіз.-мат. наук, доцент О.В.Шепеленко

доцент В.М.Дрибан

Щетініна, О.К.

Щ 70 Формування експериментальних законів розподілу: навч. посіб. для студ. ден. форми навч. за напрямом підготовки «Машинобудування» (в рамках КМСОНП) / М-во освіти і науки України, Донец. нац. ун-т економіки і торгівлі ім. М. Туган-Барановського, Каф. вищ. і приклад.математики; О.К.Щетініна, А.А.Павліченко. – Донецьк: [ДонНУЕТ], 2009. – 72 c.

Навчальний посібник призначено для організації самостійної роботи студентів по модулю «Формування експериментальних законів розподілу» курсу «Вища математика» у відповідності з новими стандартами підготовки фахівців інженерного профілю. Навчальний посібник може бути використано студентами інших спеціальностей і форм навчання.

Посібник містить теоретичні питання, методичні рекомендації по розв'язанню типових задач, питання для самоперевірки, індивідуальні завдання для самостійної роботи студентів, статистичні таблиці.

ББК 22.172я73

© О.К.Щетініна, А.А.Павліченко © Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського, 2009

З М І С Т

ВСТУП ………………………………………………………………………..	4
1. АПРОКСИМАЦІЯ ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ ОДНОМІРНИХ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ……………………………………………….	5
1.1. Задачі апроксимації…………………………………………………….	5
1.2. Типові закони розподілу випадкової величини………………………	10
1.2.1. Геометричний розподіл…………………………………………	10
1.2.2. Біноміальний розподіл………………………………………….	11
1.2.3. Розподіл Пуассона………………………………………………	12
1.2.4. Рівномірний розподіл…………………………………………...	13
1.2.5. Нормальний розподіл (розподіл Гауса)………………………..	14
1.2.6. Логарифмічно нормальний розподіл…………………………..	15
1.2.7. Експоненціальний (показниковий) розподіл………………….	16
1.2.8. Розподіл Вейбула……………………………………………….	17
1.2.9. Гамма–розподіл………………………………………………….	19
1.3. Оцінка параметрів закону розподілу………………………………….	21
1.3.1. Приклади побудови деяких законів розподілу……………….	22
1.3.2. Питання для самоперевірки………….…………………………	29
1.4. Критерії узгодження……………………………………………………	29
1.4.1. Критерій узгодження К.Пірсона…………………………...	31
1.4.2. Критерій узгодження А.М.Колмогорова….…………………	33
1.4.3. Критерій узгодження Б.С.Ястремського……………………...	36
1.4.4. Критерій В.І.Романовського……………………………………	38
1.4.5. Питання для самоперевірки ……………………………………	40
2. ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ……………………………………….	40
2.1. Теоретичні засади планування і обробки результатів експериментів при багатофакторному методі дослідження………………………….	41
2.2. Побудова математичної моделі у випадку двох факторів…………...	43
2.3. Знаходження оптимальних умов проведення експерименту методом руху по градієнту……………………………………………	47
2.4. Питання для самоперевірки…………...……………………………….	51
3. ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ………………………………………………………………..	52
ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………….	61
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК………………………………………………...	62
Додатки…………………………………………………………………………	64

ВСТУП

При дослідженні економічних і технічних систем можуть використовуватися теоретичні і емпіричні методи пізнання. Кожний із цих напрямків має відносну самостійність, має свої достоїнства та недоліки. У загальному випадку теоретичні методи у вигляді математичних моделей дозволяють описувати і пояснювати взаємозв'язки елементів досліджуваної системи або об'єкта у відносно широких діапазонах зміни значень змінних величин. Емпіричні дослідження є основним джерелом об'єктивної інформації про характеристики процесів, що протікають у реальних об'єктах. Метою обробки експериментальних даних (ЕД) є виявлення закономірностей у характеристиках досліджуваних об'єктів і процесів. Результати обробки ЕД дозволяють оцінити якість об'єкта, вони необхідні для оперативного управління процесами, розв'язання задач адаптації об'єкта до умов, що змінилися, або формування вимог до знову створюваних систем. Одержання експериментальної інформації пов'язане з розв'язанням ряду проблем по організації реєстрації первинних параметрів, їхнього збору та обробки. Ті дані, які можна безпосередньо зареєструвати, звичайно лише побічно відображають істотні властивості досліджуваного процесу або об'єкта. Багато показників носять випадковий характер і із цієї причини не можуть бути безпосередньо обмірювані. Ряд подій у досліджуваних системах відбувається вкрай рідко, і одержати для них достатній обсяг емпіричних даних (наприклад, дістати дані по відмовах систем з високою надійністю) неможливо.

Методи обробки ЕД почали розроблятися більш двох століть тому назад у зв'язку з необхідністю розв'язання практичних задач по агробіології, медицині, економіці, соціології. Отримані при цьому результати склали фундамент такої наукової дисципліни, як математична статистика. В останні 20-30 років математичний апарат обробки ЕД дістав значний розвиток у зв'язку з необхідністю розв'язання принципово нових задач. І до теперішнього часу він включає множину різних напрямків, які виходять за межі класичної математичної статистики. Багато методів знайшли застосування при дослідженні технічних і людино-машинних систем, а також при обробці результатів імітаційного (статистичного) моделювання.

При побудові теоретичних моделей неминуче введення яких-небудь обмежень, допущень, гіпотез. Тому виникає задача оцінки вірогідності (адекватності) отриманої моделі реальному процесу або об'єкту. Для цього проводиться експериментальна перевірка розроблених теоретичних моделей. Практика є вирішальною основою наукового пізнання. У ряді випадків саме результати експериментальних досліджень дають поштовх до теоретичного узагальнення досліджуваного явища. Експериментальне дослідження дає більш точну відповідність між досліджуваними параметрами. Але не треба і перебільшувати результати експериментальних досліджень, які справедливі тільки в межах умов проведеного експерименту. Таким чином, теоретичні і експериментальні дослідження доповнюють одне одне і є складовими елементами процесу пізнання навколишнього світу.

Як правило, результати експериментальних досліджень мають потребу в певній математичній обробці. У теперішній час процедура обробки експериментальних даних досить добре формалізована і дослідникові необхідно тільки її правильно використати. Коло питань, які розв'язують при обробці результатів експерименту, не є таким вже і великим. Це питання підбора емпіричних формул і оцінка їхніх параметрів, питання оцінки значень вимірюваних величин і точності вимірювань, питання дослідження кореляційних залежностей.

Даний навчальний посібник містить деякі результати в області обробки результатів експериментальних досліджень. Розглянуто три основні групи питань: підбор (апроксимація) закону розподілу для опису даних та оцінка параметрів розподілу; перевірка статистичних гіпотез; планування багатогофакторного експерименту. У додатку наведені фрагменти статистичних таблиць, широко застосовуваних у задачах обробки експериментальних даних. Посібник може служити практичним посібником із планування експерименту та обробці його результатів для студентів економічних та інженерних спеціальностей. Розглянуті в посібнику задачі освітлені прикладами, що ілюструють послідовність і сутність етапів обробки ЕД.

Для освоєння матеріалу посібника необхідні початкові знання з теорії ймовірностей. Виконання практичних задач передбачає застосування типових пакетів прикладних програм для проведення розрахунків (наприклад, табличного процесора MS Excel) або спеціалізованого пакета обробки статистичних даних типу STATISTICA.